Üçgenlerin Çevre Ve Alanı Nasıl Hesaplanır? Üçgenlerin Çevre Ve Alan Hesaplamaları

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

Üçgenlerin Çevre Ve Alanı Nasıl Hesaplanır? Üçgenlerin Çevre Ve Alan Hesaplamaları
Üçgenlerin Çevre Ve Alanı Nasıl Hesaplanır? Üçgenlerin Çevre Ve Alan Hesaplamaları

Üçgen

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Herhangi bir üçgen

Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir

Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir

Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır

Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir

Burada;
A, B, C noktaları üçgenin köşeleri ve doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır

, ve üçgenin iç açılarıdır

Konu başlıkları

1 Matematiksel tanım
2 Üçgenin açıları
3 Üçgenlerin türleri
- 31 Kenarlarına Göre
  - 311 İkizkenar Üçgen
- 32 Açılarına Göre
  - 321 Dar Açılı Üçgen
  - 322 Dik Üçgen
  - 323 Geniş Açılı Üçgen
4 Üçgen bağıntıları
- 41 Pisagor bağıntısı
- 42 Alan Hesaplaması
  - 421 Kenardan Yararlanma
  - 422 Açıdan Yararlanma
  - 423 Heron Yöntemi
- 43 Kosinüs Teoremi
5 Üçgende yardımcı elemanlar
- 51 Açıortay
  - 511 Açıortay Uzunluğu
- 52 Kenarortay
  - 521 Kenarortay teoremi
6 Üçgen İle İlgili Teoremler
- 61 Seva Teoremi
- 62 Menelaus Teoremi
- 63 Steward Teoremi
- 64 Carnot Teoremi
7 Dış bağlantılar

Matematiksel tanım

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur

X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir

Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90

doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur

Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir

Üçgenin açıları

Üçgenin dış açıları

Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır

, ve

Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir

Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar

Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir

Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir

Üçgenlerin türleri

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb

) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir

Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır

Kenarlarına Göre

Eşkenar İkizkenar Çeşitkenar İkizkenar Üçgen
Ana madde: İkizkenar Üçgen İki kenarı eşit olan üçgenlerdir

Ayrıca iki açısı birbirine eşitir

Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir

ğ==== Çeşitkenar Üçgen ==== Her kenarının uzunluğu farklı olan üçgenlerdir

Tüm iç açıları birbirinden farklıdır

[İtalik yazı] == Medya:Başlık yazısı
==
Açılarına Göre

Dar Açılı Üçgen

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir

Dik Üçgen

Ana madde: Dik Üçgen Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir

Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir

En uzun kenarına hipotenüs denir

Geniş Açılı Üçgen

Açılarından biri 90°den geniş olan üçgenlerdir

Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir

Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir

Üçgen bağıntıları

Pisagor bağıntısı

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir

Buna Pisagor Teoremi denir

Yani:

Alan Hesaplaması

Kenardan Yararlanma

Alan hesaplaması

Bir üçgenin alanı taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

ayrıca yarrağınızın başıyla da ölçebilirsiniz

Açıdan Yararlanma
Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır

Heron Yöntemi

Çevre uzunluğuna '2u',' dersek alan:

Kosinüs Teoremi

Ana madde: Kosinüs teoremi
Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım

a ve b arasında kalan açı da alfa(α) olsun

c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

Üçgende yardımcı elemanlar

Açıortay
Ana madde: Açıortay
Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir

Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir

Açıortay

Açıortay Uzunluğu [değiştir]

Kenarortay

Ana madde: Kenarortay

Kenarortaylar ve ağırlık merkezi

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir

Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir

G harfi ile gösterilir

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı 2n ve n olarak böler

Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
olur

Kenarortay teoremi

Üçgen İle İlgili Teoremler
Seva Teoremi [değiştir]

Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen

Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir

Uygulaması şu şekildedir:

Menelaus Teoremi

Menelaus Teoremi

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir

Uygulaması:

Steward Teoremi

Steward Teoremi

Ana madde: Steward Teoremi
Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır

Bağıntı aşağıdaki gibidir:

Carnot Teoremi

Ana madde: Carnot Teoremi
Üçgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a,b(ilk kenar) x,y(ikinci kenar) m,n(üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın

Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

09-11-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Üçgenlerin Çevre Ve Alanı Nasıl Hesaplanır? Üçgenlerin Çevre Ve Alan Hesaplamaları Üçgenlerin Çevre Ve Alanı Nasıl Hesaplanır? Üçgenlerin Çevre Ve Alan Hesaplamaları Üçgenlerin Çevre Ve Alanı Nasıl Hesaplanır? Üçgenlerin Çevre Ve Alan Hesaplamaları Üçgen Vikipedi, özgür ansiklopedi Git ve: kullan, ara Herhangi bir üçgen Bir üçgen, düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir Düzlem geometrisinin temel şekillerinden biridir Bir üçgenin üç köşesi ve bu köşeleri birleştiren, doğru parçalarından oluşan üç kenarı vardır Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180° dış açılarının toplamı 360°'dir Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri ve doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır , ve üçgenin iç açılarıdır Konu başlıkları 1 Matematiksel tanım 2 Üçgenin açıları 3 Üçgenlerin türleri 31 Kenarlarına Göre 311 İkizkenar Üçgen 32 Açılarına Göre 321 Dar Açılı Üçgen 322 Dik Üçgen 323 Geniş Açılı Üçgen 4 Üçgen bağıntıları 41 Pisagor bağıntısı 42 Alan Hesaplaması 421 Kenardan Yararlanma 422 Açıdan Yararlanma 423 Heron Yöntemi 43 Kosinüs Teoremi 5 Üçgende yardımcı elemanlar 51 Açıortay 511 Açıortay Uzunluğu 52 Kenarortay 521 Kenarortay teoremi 6 Üçgen İle İlgili Teoremler 61 Seva Teoremi 62 Menelaus Teoremi 63 Steward Teoremi 64 Carnot Teoremi 7 Dış bağlantılar Matematiksel tanım Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, [Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur X bir Riemann uzayı ve A, B, C, bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir Örneğin, bir Riemann yüzeyi olarak dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90 doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri, bir üçgen oluşturur Bu üçgenin iç açıları toplamı 270°'dir Üçgenin açıları Üçgenin dış açıları Üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olduğunun ispatı BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır , ve Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir Bir ABC üçgenine, A tepe noktasından teğet geçecek ve BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir Bir ABD üçgenine, D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında, yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir Üçgenlerin türleri Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da hiperbolik üçgen terimleri kullanılır Kenarlarına Göre Eşkenar İkizkenar Çeşitkenar İkizkenar Üçgen Ana madde: İkizkenar Üçgen İki kenarı eşit olan üçgenlerdir Ayrıca iki açısı birbirine eşitir Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay hem kenarortay özelliği gösterir ğ==== Çeşitkenar Üçgen ==== Her kenarının uzunluğu farklı olan üçgenlerdir Tüm iç açıları birbirinden farklıdır [İtalik yazı] == Medya:Başlık yazısı == Açılarına Göre Dar Açılı Üçgen Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere denir Dik Üçgen Ana madde: Dik Üçgen Bir açısı dik (90°) olan üçgenlerdir Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir En uzun kenarına hipotenüs denir Geniş Açılı Üçgen Açılarından biri 90°den geniş olan üçgenlerdir Sadece bir tek kenarı geniş açı olabilir Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir Üçgen bağıntıları Pisagor bağıntısı Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir Buna Pisagor Teoremi denir Yani: Alan Hesaplaması Kenardan Yararlanma Alan hesaplaması Bir üçgenin alanı taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: ayrıca yarrağınızın başıyla da ölçebilirsiniz Açıdan Yararlanma Bir üçgenin alanı herhangi iki kenarını ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır Heron Yöntemi Çevre uzunluğuna '2u',' dersek alan: Kosinüs Teoremi Ana madde: Kosinüs teoremi Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım a ve b arasında kalan açı da alfa(α) olsun c kenarını bulmak için kullanılacak formül: Üçgende yardımcı elemanlar Açıortay Ana madde: Açıortay Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir Açıortay Açıortay Uzunluğu [değiştir] Kenarortay Ana madde: Kenarortay Kenarortaylar ve ağırlık merkezi Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denirBir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir G harfi ile gösterilir Ağırlık merkezi, bir kenarortayı 2n ve n olarak böler Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek; olur Kenarortay teoremi Üçgen İle İlgili Teoremler Seva Teoremi [değiştir] Seva Teoremi'nin uygulandığı üçgen Seva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir Uygulaması şu şekildedir: Menelaus Teoremi Menelaus Teoremi Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir Uygulaması: Steward Teoremi Steward Teoremi Ana madde: Steward Teoremi Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır Bağıntı aşağıdaki gibidir: Carnot Teoremi Ana madde: Carnot Teoremi Üçgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a,b(ilk kenar) x,y(ikinci kenar) m,n(üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsınBenzerlik bağıntılarını kurduğumuzda: