Piramitler, Koni Ve Küre

**Şengül Şirin** · 05-31-2009

PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım

Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir

T noktası piramidin tepe noktasıdır

Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır

Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır

Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir

T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur

|TH| = h biçiminde yazılır

[TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır

Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır

1Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir

Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur

İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir

|PH| = h piramidin yüksekliğidir

Yan yüz yüksekliği |PK| dır

Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği
|PK|2 = h2 + (

)2 olur

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir

2 Eşkenar Üçgen Piramit
Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir

Taban Alanı

olduğundan

3 Düzgün Dörtyüzlü

Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir

Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner

Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün
Yarı yüz yüksekliği

ve Cisim yüksekliği

olur Buradan

4 Düzgün Sekizyüzlü
Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir

Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği

olur

Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu
düşünürsek piramitlerin yüksekliği;
olur

Piramitin hacmi

olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

5 Düzgün Altıgen Piramit
Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur

KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir

Taban alanı =

olduğundan

bulunur

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir

Burada;
Taban yarıçapı |OB| = r
Cisim yüksekliği |PO| = h olur

|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir

POB dik üçgeninde,
h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır

Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,
Yanal alan= pr2+prl
Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir

Tüm alan = šr2 + šrl

Daire diliminin merkez açısına a dersek

oranı elde ederiz

Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir

Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilirşekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır

[O1B] // [O2D] olduğundan

benzerliği vardır

Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı

dir

Alanları
oranı benzerlik oranının
karesi olduğundan, alanlar oranı

olur

Hacimler oranı
ise benzerlik oranının küpüdür

r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek

KÜRE
Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir

Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir

Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir

O merkezli R yarıçaplı kürede;

Yüzey alanı

1 Küre Dilimi
[KL] çap
m(AOB) = a
şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi

2 Küre Kapağı

Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür

Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir

Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek
|OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır

h = R - |OP| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan
Küre parçasının haçmi

05-31-2009	#1
Şengül Şirin	Piramitler, Koni Ve Küre PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir T noktası piramidin tepe noktasıdır Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur \|TH\| = h biçiminde yazılır [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır 1Kare Piramit Kare piramidin tabanı kare biçimindedir Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir \|PH\| = h piramidin yüksekliğidir Yan yüz yüksekliği \|PK\| dır Tabanının bir kenarına a dersek Buradan yan yüz yüksekliği \|PK\|2 = h2 + ( )2 olur Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir 2 Eşkenar Üçgen Piramit Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir Taban Alanı olduğundan 3 Düzgün Dörtyüzlü Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün Yarı yüz yüksekliği ve Cisim yüksekliği olur Buradan 4 Düzgün Sekizyüzlü Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu düşünürsek piramitlerin yüksekliği; olur Piramitin hacmi olduğundan; Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan 5 Düzgün Altıgen Piramit Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur KONİ Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir Taban alanı = olduğundan bulunur Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur KONİ Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir Burada; Taban yarıçapı \|OB\| = r Cisim yüksekliği \|PO\| = h olur \|PA\| = \|PB\| = l uzunluğuna ana doğru denir POB dik üçgeninde, h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır Koninin yanal alanı bir daire dilimidir Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan, Yanal alan= pr2+prl Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir Tüm alan = šr2 + šrl Daire diliminin merkez açısına a dersek oranı elde ederiz Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilirşekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile \|BC\| yarıçaplı ve yüksekliği \|AB\| olan koni elde edilir Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır [O1B] // [O2D] olduğundan benzerliği vardır Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir Alanları oranı benzerlik oranının karesi olduğundan, alanlar oranı olur Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek KÜRE Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir O merkezli R yarıçaplı kürede; Yüzey alanı 1 Küre Dilimi [KL] çap m(AOB) = a şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi 2 Küre Kapağı Bir küre merkezinden \|OP\| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir Kesitin merkezinden uzaklığına \|OP\|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek \|OP\|2 + r2 = R2 eşitliği vardır h = R - \|OP\| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan Küre parçasının haçmi __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır