Piramitler, Koni Ve Küre
 

• PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.
T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.
Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.
|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.
Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1721.gif
1.Kare Piramit

http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1722.gif

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.
İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.
|PH| = h piramidin yüksekliğidir.
Yan yüz yüksekliği |PK| dır.
Tabanının bir kenarına a dersek
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks.../geoka1704.gif
Buradan yan yüz yüksekliği
|PK|2 = h2 + (http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1723.gif )2 olur.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks.../geoka1703.gif
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1724.gif Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

2. Eşkenar Üçgen Piramit
Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1725.gif
Taban Alanı http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1725.gif olduğundan http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1726.gif 3. Düzgün Dörtyüzlü
Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.
Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün
Yarı yüz yüksekliği http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1728.gif ve Cisim yüksekliği http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1729.gif olur Buradan
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1730.gif
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1731.gif
4. Düzgün Sekizyüzlü
Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.
Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1728.gif olur.
Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu
düşünürsek piramitlerin yüksekliği;
olur.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1732.gif Piramitin hacmi http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1733.gif olduğundan;
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1734.gif
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1735.gif
Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1736.gif
5. Düzgün Altıgen Piramit
Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.
Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.
Taban alanı = http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1737.gif olduğundan http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1738.gif
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1739.gif
bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.
KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.
Burada;
Taban yarıçapı |OB| = r
Cisim yüksekliği |PO| = h olur.
|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.
POB dik üçgeninde,
h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.
Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1741.gif
Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,
Yanal alan= pr2+prl
Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.
Tüm alan = šr2 + šrl

• Daire diliminin merkez açısına a dersek

http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1742.gif oranı elde ederiz.

• Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.

• Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1744.gif Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.
[O1B] // [O2D] olduğundan
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1746.gif benzerliği vardır. Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1747.gifdir. Alanları
oranı benzerlik oranının
karesi olduğundan, alanlar oranı http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1748.gif olur. Hacimler oranı
ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1749.gif

http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1750.gif KÜRE
Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir. http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1751.gif O merkezli R yarıçaplı kürede;
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1752.gif
Yüzey alanı http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1753.gif 1. Küre Dilimi
[KL] çap
m(AOB) = a
şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1754.gif
http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1755.gif 2. Küre Kapağı
Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.
Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek
|OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır. h = R - |OP| Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan
Küre parçasının haçmi http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1757.gif http://www.torpil.com/torpil/oss_oks...m/geo_1758.gif