Binom Teoremi Hakkında Bilgi

Binom Teoremi Hakkında Bilgi

Alm Binomisches Theorem, Fr Binome Theorem, İng Binomial Theorem İki terimin toplamının
pozitif bir kuvvetini veren ifade Bu teoreme göre:

n(n-1) n(n-1)(n-2)
(a+b)n = an+nan-1 b+ ⎯⎯⎯an-2 b2+ ⎯⎯⎯⎯⎯
12 123
an-3b3 + + nabn-1 + bn
yazılır Mesela (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 Burada terim sayısı 5'tir Genel durumda ise terim
sayısı n+1 tanedir
Pozitif kuvvetler için verilen teorem, negatif ve kesirli n sayıları için de genelleştirildiğinde, sonsuz
terimli bir seri elde edilir Bu durumda elde edilen;
n(n-1) n(n-1)(n-i+1)
(1+a)n=1+na+ ⎯⎯⎯a2++⎯⎯⎯⎯⎯⎯ai+
12 123i
serisi a<1 için yakınsar
n pozitif olduğunda a ve b'nin kuvvetlerinin katsayıları Pascal üçgeni kullanılarak da belirlenebilir
Sırada bulanan her sayı, birler hariç kalmak üzere, daha üstte bulunan sıradaki sağ ve sol sayıların
toplamından ibarettir Mesela beşinci sıradaki ilk 4, daha önceki sırada 1 ile 3'ün toplamından ibarettir
Benzer şekilde aynı kolonda bulunan 6 üst satırda bulunan ve 3 ve 3'ün toplamıyla elde edilmiştir Bu
üçgenin genişletilmesiyle (a+b)'nin yüksek kuvvetlerindeki katsayılar elde edilir:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Binom teoremi aynı zamanda yaklaşık karekök ve küpkök elde edilmesinde de kulanılabilir Mesela | a
| <1 için (1+a) 1/n ~ 1+a/n olarak yazılabilir