Binom Teoremi Hakkında Bilgi
 

Binom Teoremi Hakkında Bilgi

Alm. Binomisches Theorem, Fr. Binome Theorem, İng. Binomial Theorem. İki terimin toplamının
pozitif bir kuvvetini veren ifade. Bu teoreme göre:

n(n-1) n(n-1)(n-2)
(a+b)n = an+nan-1 b+ ⎯⎯⎯an-2 b2+ ⎯⎯⎯⎯⎯
1.2 1.2.3
an-3b3 + ...........+ nabn-1 + bn
yazılır. Mesela (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. Burada terim sayısı 5'tir. Genel durumda ise terim
sayısı n+1 tanedir.
Pozitif kuvvetler için verilen teorem, negatif ve kesirli n sayıları için de genelleştirildiğinde, sonsuz
terimli bir seri elde edilir. Bu durumda elde edilen;
n(n-1) n(n-1)...(n-i+1)
(1+a)n=1+na+ ⎯⎯⎯a2+...+⎯⎯⎯⎯⎯⎯ai+...
1.2 1.2.3......i
serisi a<1 için yakınsar.
n pozitif olduğunda a ve b'nin kuvvetlerinin katsayıları Pascal üçgeni kullanılarak da belirlenebilir.
Sırada bulanan her sayı, birler hariç kalmak üzere, daha üstte bulunan sıradaki sağ ve sol sayıların
toplamından ibarettir. Mesela beşinci sıradaki ilk 4, daha önceki sırada 1 ile 3'ün toplamından ibarettir.
Benzer şekilde aynı kolonda bulunan 6 üst satırda bulunan ve 3 ve 3'ün toplamıyla elde edilmiştir. Bu
üçgenin genişletilmesiyle (a+b)'nin yüksek kuvvetlerindeki katsayılar elde edilir:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. . . . . . . . . . . . .
Binom teoremi aynı zamanda yaklaşık karekök ve küpkök elde edilmesinde de kulanılabilir. Mesela | a
| <1 için (1+a) 1/n ~ 1+a/n olarak yazılabilir.