Bölme Bölünebilme...

A BÖLME

A B C K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere

bölme işleminde


• A ya bölünen B ye bölen C ye bölüm K ya kalan denir

• A = B C + K dır

• Kalan bölenden küçüktür (K < B)

• Kalan bölümden (C den) küçük ise bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir Bu durumda K ile A değişmez

• K = 0 ise A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir



B BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir



2 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir



3 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür

abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir

• abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir



4 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir



5 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için

k Î Z olmak üzere

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + = 7k

olmalıdır



Ü Birler basamağı a0 onlar basamağı a1 yüzler basamağı a2 olan sayının (a5a4a3a2a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir



6 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür

3000 3432 65104 sayıları 8 ile tam bölünür



Ü Birler basamağı c onlar basamağı b yüzler basamağı a olan sayının (abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 b + 4 a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir



7 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir



8 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır



9 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için



(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) = 11 k

ve k Î Z olmalıdır



Ü (n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir



Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı bu iki sayının çarpımına da tam bölünür

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür

• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür






C BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A B C D E K1 K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun


Buna göre

• A B nin C ile bölümünden kalan K1 K2 dir

• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir

• D A nın C ile bölümünden kalan D K1 dir

• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise tekrar C ile bölünerek kalan bulunur



D ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B C ile tam bölünür) her zaman doğru değildir

Ü 144 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür

Ü 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür Fakat 6 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünemez



E BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir

a b c birbirinden farklı asal sayılar ve m n k pozitif tam sayılar olmak üzere



A = ** bn ck olsun



• A yı tam bölen asal sayılar a b c dir

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) (n + 1) (k + 1) dir

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir

• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 (m + 1) (n + 1) (k + 1) dir

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:




• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur

• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

– (a + b + c) dir

• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:


• A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: