Bölme Bölünebilme...
 

A. BÖLME

A. B. C. K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere.

bölme işleminde.


• A ya bölünen. B ye bölen. C ye bölüm. K ya kalan denir.

• A = B . C + K dır.

• Kalan. bölenden küçüktür. (K < B)

• Kalan. bölümden (C den) küçük ise. bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir. Bu durumda K ile A değişmez.

• K = 0 ise. A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.



B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.



2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan. rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.



3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı. 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.

... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

• ... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.



4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan. o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.



5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için.

k Î Z olmak üzere.

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ... = 7k

olmalıdır.



Ü Birler basamağı a0. onlar basamağı a1. yüzler basamağı a2. ... olan sayının (...a5a4a3a2a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + ...

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.



6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki. onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000. 3432. 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.



Ü Birler basamağı c. onlar basamağı b. yüzler basamağı a. ... olan sayının (...abc sayısının) 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölümünden kalana eşittir.



7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan. o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.



8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.



9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için



(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.



Ü (n + 1) basamaklı anan–1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + ...) – (a1 + a3 + a5 + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.



Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı. bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.

• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.






C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A. B. C. D. E. K1. K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere.

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.


Buna göre.

• A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.

• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.

• D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.

• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise. tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.



D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

Ü 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.

Ü 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.



E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının. asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a. b. c birbirinden farklı asal sayılar ve m. n. k pozitif tam sayılar olmak üzere.



A = ** . bn . ck olsun.



• A yı tam bölen asal sayılar a. b. c dir.

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:

(m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam sayı bölenidir.

• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.

• A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı:




• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı. A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.

• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı

– (a + b + c) dir.

• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:


• A sayısınının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: