Matematikte Üslü İfadeler - Üslü İfadelerde Örnekli Çözüm Ve Anlatım

TANIM: : a bir reel gerçel sayı ve nÎZ+ olsun aaaa=an olacak şekilde, n tane a’nın çarpımı olan an e üslü ifadeler denir

Örnek/ a) 3333=34 b) c)

UYARI :8 a bir reel sayı ve nÎZ+ olmak üzere a+a+a++a = na olduğu için an ile na ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır Yani an ¹ na dır

Örnek / 2+2+2+2+2 = 52 olup aynı şekilde 22222 = 25 olduğuna dikkat edilmelidir

Not : 1-) a¹0 olmak şartıyla a0 = 1 dir

2-) 00 = ifadesi tanımsızdır

3-) 1n = 1 dir (nÎIR)

Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f)

---------------Üssün Üssü--------------------

Tanım8 Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir Kural

Örnek/ a) ( 52)3 = 523 =56 b) c)

Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa am nin üssümü olduğu belli değildir

2- dir Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir

Örnek / olduğunu gösterin

a) = 323 =36 = 729

b) = 3222 = 38 =6561

Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür

-------------------------Negatif Üs Kavramı-----------------

Tanım 8 a bir reel sayı olmak üzere dir Benzer şekilde a¹0 ve b¹0 olmak üzere

Örnek / 5-1 + 5-2 = ?=

Örnek /

------------------------Bir Reel Sayının Üssü-------------------

Tanm8 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir Kural a > 0 Þ an > 0 dır

Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0

Tanım : 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir Kural a < 0 ve n bir çift sayı ise an > 0

Tanım : 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri NegatiftirKural a < 0 ve n bir tek sayı ise an < 0

Örnek / 1- (-4)2 = 16 > 0

Örnek / 2- (-4)3 = -64 < 0

Not 8 a > 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n ¹ -an eşitsizliği doğrudur

Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve –24 = -2222= -16

Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)

Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0

Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

---------------------Üslü İfadelerde Dört İşlem-------------------

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım : Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural :4 aXn bXn = (a b)Xn

Örnek / 1- 5103 + 2103 = (5+2)103

Örnek / 1- 5103 - 2103 = (5-2)103

Not8 m ¹ n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz

Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır

1105 = 10104

Burdan 10104 + 1104 = (10+1) 104

Örnek / 55 + 54 = 554 + 54 = (5+1) 54

2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir

Kural 8/ 1- (aXm) (bXn) = (ab)Xm+n

Kural 8 2- (aXm) ¸ (bXn) = (a¸b)Xm-n veya

Örnek / (252 ) (354) = 2352+4 =656

Örnek / (836) ¸ (432) =

Örnek /

Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım

15a = 3a-2 = (35)a = şeklinde yazılırsa

15a = 3a-2 = (35)a =

= 3a5a =

= 32 3a5 a = 3a

= 95a =

= 95a = 1

= 5a=

------------------Üslü Denklemler--------------------

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir

a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an Þ m=n dir

ÖRNEK/ 1- 2x = 25 Þ x=5 tir

2- 3x = 81 Þ 3x= 34 Þ x=4 tür

3- 2x+8 = 8 olduğuna göre, x=?

2x+8 = 2x 28 olup

2x 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup

2x 28 = 23

2x = 23¸ 28

2x = 23-8

2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur

ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım

ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3

5x+1-2+x= 53(x-3)

52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır)

2x-1 = 3x-9

2x –3x = -9+1

-x = -8

x = 8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL 8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir

n tek sayı ve an = bn Þ a=b dir

n çift sıyı ve an = bn Þ a=b veya a = -b dir

ÖRNEK/ 1- x3=53Þ x=5 tir

2- (x+7)3=(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım

Çözüm: 3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır Burdan,

(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım

x+7 = 3x-11

7+11= 3x-x

18 = 2x

x =

x = 9

ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için

(2x+3)4= (X-2)4 Þ

2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)

2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2

x=5 Veya 2x+x= 2-3

3x = -1

x=

KURAL 8 xn = 1 şeklinde olan denklemler

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır

Xn = 1 Þ

ÖRNEK / 1- 18 = 1 dir Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir

2- 50 = 1 dir Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir

3- (-1)6 = 1 dir Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir

4- 53x-15 = 1 ise x=?

Çözüm: 53x-15 = 1 ise

3x-15 = 0 olmalıdır,burdan

3x = 15

x = 15¸3

x =

ÖRNEK / (5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın

ÇÖZÜM: (5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır

(5x+3) = 1

5x+3 = 1

5x = 1-3

5x = -2

x =

ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım

ÇÖZÜM / 1 DURUM: x+3=1Þx=1-3

x=-2------(ª)

2 DURUM: x-2=0----(ª)

x=2-------(ª) Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır

3 DURUM: X+3= -1

x=-4------(ª) Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir

ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım

ÇÖZÜM / = 610x

=35x

=

=22x

=21 2x

=21+x