Matematiksel Mantık

Matematiksel mantık




Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmiştiÇağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısı Gottlob Frege, "Matematik mantığın uygulama alanıdır" görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti

Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi

Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi Bu yöntem 1972'de A Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı Bu dil 1975'te D Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı





Daha sonra, Frege'nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933'te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi


Alan Robinson, 1967'de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi Bu yöntem 1972'de A Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı Bu dil 1975'te D Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980'lerde ortaya çıktı

Önermeler Mantığı
Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:

1. Tanımlanmamış terimler
2. Tanımlar
3. Türetme kuralları
4. Aksiyomlardır
5. Teoremler

Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir
Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir

Önerme

Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:
Bugün hava güneşlidir
3 asal sayıdır
Duygu 21 yaşındadır
3 asal sayı değildir
Duygu 21 yaşında değildir
Bir gün 24 saattir sıfır doğal sayıdır
Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denirÖnerme matematikte kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir

Olumsuzu

Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir
Bir hafta 7 gün'dür Bir hafta 7 gün degildir

Birleşim

İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz
Örnek: “bugün gemiler 9'da ve 10da sefer yapacak” değili A' olarak gösterilir

Ayrılım

İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir
Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş'tan ziyaretçiler gelecek”

Şartlı cümle

Aynı şekilde, iki veya daha fazla sayıda önermeden (eğer-ise) bağını kullanarak şartlı önermeler kurulabilir
Örnek: “Eğer yağmur yağıyor ise, hava bulutludur”
Bazen “eğer-ise” bağı yerine doğal dilde “gerektirir” bağını da kullanabiliyoruz
Örnek: “Yağmurun yağıyor olması havanın bulutlu olmasını gerektirir”

Ancak ve Ancak [Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır

Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez”
Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler”
Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi)

Mantıksal bağlar

Mantıksal bağlar aşağıdaki sembollerle gösterilir:
: değil
: ve
: veya
: eğer-ise
: eğer ancak-ise

Böylece şu ifadeler, önermesel formüller olacaktır:
, , , ,
Örnek: "Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir"
P: Sendika inada devam eder
Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder
R: Grev önlenir
S: Hükümet kararname çıkartır
T: Hükümet fabrikaya polis göndermez



Doğruluk cetvelleri

Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir
Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:
, , , ,
“Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani yanlıştır, ve bunun tersi Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan yanlıştır
Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5'tir” yanlış bir bileşik önermedir
Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır
Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:
PQDDYDDDDDYYYDYYYDDYDDYYYDYYDDD: doğru, Y: yanlış


Eşdeğerlikler



Karşıtlıklar







Totoloji Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir Çelişki Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir Bazen doğruluk Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir Tutarlılık Bir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir Geçerlilik Bir A1, A2, , An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, , An önermelerinin geçerli sonucudur denir Geçerlilik şu şekilde gösterilir: A1, A2, , An |= BMantıksal İçerik Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur)(-->bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)
Yüklemler Mantığı

Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik dil için de yeterli değildir Mesela, klasik mantıkta "Her asal sayı bir doğal sayıdır" ve "3 asal sayıdır" öncüllerinden, "3 doğal sayıdır" sonucunu çıkarabiliyoruz Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu, önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz Bunun nedeni de şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi birçok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez
İşte, terimler, yüklemler ve niceleyiciler diye isimlendireceğimiz mantıksal kavramlar yardımıyla gündelik dili ve matematiğin dilini büyük ölçüde sembolize edebiliriz

Yüklemler mantığında da aynı matematikte olduğu gibi, sabitler ve değişkenler kullanılır Biraz önce bahsedilen "terimleri" iki sınıfa ayırabiliriz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz varlıkları sayabiliriz: “Gökhan”, “Tekir”, “gül” gibi Bunlar yerine de “insan”, “hayvan”, “bitki” kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz

Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabilir Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabilir Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz: “sayı”, “meyve”, “uydu”, “sert” gibi Buna göre,
7 bir asal sayıdır

Elma bir tür meyvedir
Miranda, Neptün'ün uydusudur
Demir sert bir metaldir
cümleleri içinde "7", "elma", "Miranda", "Neptün" ve "demir" bireysel sabitler, “asal sayı, “meyve”, “uydu” ve “sert metal” de yüklemsel sabitlerdir
Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argümanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da içerebilirler Mesela: “Beril, Akın ve Şebnem'nin önünde oturuyor” dediğimiz zaman, burada “önünde oturuyor” ifadesini yüklem olarak; Beril, Akın ve Şebnem isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz

Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler:
P(a), Q(b,c), R(d,e,f),
Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak,
P(x), Q(b,y), R(z,e,f)
gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz



Eşdeğerlik ve karşıtlık

A(x) yüklemsel bir formül olsun Şu ifadeleri gözönüne alalım:
a)
b)
c)
d)
Bunları doğal dile çevirirsek:
a) Herşey A yüklemine (özelliğine) sahiptir
b) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir
c) Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir
d) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir
Burada görüldüğü gibi, d, a'nın karşıtı (değillemesi), c de b'nin karşıtıdır Şu halde, yerine kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde yerine ifadesini kullanabiliriz
Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir Örneğin:
, “her sayı asal değildir” anlamına gelirken,
ise “hiçbir sayı asal değildir” anlamına gelir


Eşdeğerlikler



Karşıtlıklar




Çözülüm Teorem İspatlama

Çözülüm teorem ispatlama, mantık teoremlerinin ispatlanması için A Robinson tarafından geliştirilmiş bir tekniktir Bu tekniğin esası şudur:
Eğer “ve” bağı ile bağlı P1, , Pn önermelerinden bir Q önermesi dedüktif olarak çıkarılabiliyorsa, o zaman Q'nun değillemesini bu önermelere “ve” bağı ile kattığımız zaman bir çelişki elde ederiz Sembollerle gösterecek olursak:

çıkarımı geçerli ise,

bir çelişkidir
Bu yöntemin kullanılabilmesi için, P1, , Pn önermelerinin, eşdeğerlik dönüşümleri kullanılarak “birleşimli normal biçim” denilen bir biçime getirilmesi gerekir Bu biçim sadece “değil”, “ve” ve “veya” mantıksal bağlarını içerir

Örnek 1:
P -> Q ~P V Q ~P V Q P P P ------ ------ ~Q Q Q ------Bu örnekte şartlı önermesi yerine, eşdeğeri konulmuştur ki bu, önermesinin normal biçimidir
Örnek 2:
A -> B ~A V B ~A V B B -> C ~B V C ~B V C A A A -------- --------- ~C C C ---------

Çözülüm teorem ispatlama yöntemi, yüklemler mantığının teorem ispatlama problemlerinde de uygulanmaktadır Yüklemler mantığında teorem ispatı sırasında bireysel sabitlerin değişkenlerin yerine konulmasına “birleştirme” denilir
Örnek 3:
P(x,y) -> Q(x) ~P(x,y) V Q(x) ~P(a,y) V Q(a) P(a,y) P(a,y) P(a,y) -------------- --------------- ~Q(a) Q(a) Q(a) ---------------
Bulanık Mantık

Bulanık mantık 1960’ların ortalarında Lotfi Zadeh tarafından iki değerli mantık ve olasılık teorisine alternatif olarak geliştirilmiştir Bulanık mantıkçılara göre iki değerli mantık ve kümeler teorisi daha genel çok değerli bir teorinin özel halidir Zadeh (1965) bulanık kümeleri ve bulanık mantığı şu şekilde tanımlamaktadır: "Bulanık sistemlerde temel düşünce bulanık mantıkta doğruluk değerleri (veya bulanık kümelerde üyelik değerleri) 0 ile 1 arasında değişen değerlerdir ki burada 0 mutlak yanlış, 1 de mutlak doğru olmaktadır"
Doğal dilde kullandığımız birçok cümlede “az”, “çok”, “orta” gibi kalitatif niceleyiciler kullanıyoruz Bu tür cümleleri bulanık mantığın gösterimi ile ifadelendirmek daha kolay olmaktadır Bulanık mantıkta “Ahmet yaşlıdır” ve “Bugün hava sıcaktır” cümlelerindeki “yaşlı” ve “sıcak” ifadelerine iki değerli mantıktaki gibi “doğru” veya” yanlış” yerine 0 ile 1 arasında değer verilebilmektedir



Bulanık mantığın formel tanımları

X, elemanları x’ler olan bir nesneler kümesi olsun, yani X = ( x ) X’in içinde bir A bulanık kümesi bir üyelik fonksiyonu mA(x) ile karakterize edilir Bu fonksiyon X içindeki her nesneyi, 0 ile 1 arasındaki bir reel sayıya [0,1] tekabül ettirir Yukarıdaki örnekte A, yaşlı insanlar kümesi olabilir Ahmet de X insanlar genel kümesinin bir üyesi olarak yaşlı insanlardan biri olabilir, ki A’daki üyelik derecesine göre üyelik değeri [0,1] reel sayılar aralığında yer alır
mA(x) değeri 1’e yaklaştığında x’in A içindeki “üyelik derecesi” artar Bütün x’ler için mA(x) = 0 ise, A boş bir küme olur ve bütün x’ler için mA(x) = mB(x) olduğunda da A=B olur Bulanık kümelerle ilgili tarifler de şöyledir:
m(karşıt A) = 1 – mAEğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MAX[mA(x), mB(x)] ise, C, A ve B’nin birleşimidir
Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MIN[mA(x), mB(x)] ise, C, A ve B’nin arakesitidir