Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasında Nasıl Bir İlişki Vardır? Pascal Üçgeni

Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasında Nasıl Bir İlişki Vardır? Pascal Üçgeni
Pascal Üçgeni İle Kombinasyon Arasında Nasıl Bir İlişki Vardır? Pascal Üçgeni

pascal üçgenindeki sayıların dizilimi kombinasyon ile bire bir ilişkilidir
Mesela pascal üçgeninin 4 satırını alalım sayılar 1-4-6-4-1 şeklidedir ki bunlar 4'ün tüm kombinasyonlarını(0'dan 4'e) temsil ederler
1 - > C(4,0)
4 - > C(4,1)
6 - > C(4,2)
4 - > C(4,3)
1 - > C(4,4)
Her satırında bu böyledir 6 satırda 6'nın kombinasyonları, 12 satırda 12'nin kombinasyonları bulunur

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım
Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0 1
s(A)=1 11
s(A)=2 121
s(A)=3 1331
s(A)=41 4641
s(A)=51 5101051

Üçgenin tepesinde 1 yazdıkSonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldıkBir satırda ardışık iki sayının topl****** bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdıkBu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik
Örneğin; s(A)=4 14641
s(A)=515101051
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüzO halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,alt kümelerinin sayısını gösterir
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı10(s(A)=5’in satırında 4 sayı)
4 elemanlı5(s(A)=5’in satırında 5 sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1YOL: (21+35+21+7+1)=120
2YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olura’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır

(a+b)5=?
Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

*(5x-3y)2=?
Katsayılar 1 2 1
5x’in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -25x3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2

II KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur
Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
<b>
</b>Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı
<b>
</b>b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan
<b>
</b> tane üçgen çizilebilir
Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan
tane paralelkenar oluşur
Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır
III BİNOM AÇILIMI
A TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir
Burada;

sayılarına binomun katsayıları denir

ifadelerinin her birine terim denir
ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir
B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir
3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1) terim :
sondan (r + 1) terim :
(x – y)n ifadesinin açılımında 1 terimin işareti (+), 2 terimin işareti (–), 3 terimin işareti (+) dır
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir
Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim

Ü n Î IN+ olmak üzere,
(xm + )n açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için
x = 0 ve y = 0 yazılır
Ü (a + b + c)n nin açılımında
ak br cm li terimin katsayısı;