Asal Sayı Nedir? Asal Sayı Neye Denir? Asal Sayı Nelerdir? Asal Sayılar Nelerdir?

Asal Sayı Nedir? Asal Sayı Neye Denir? Asal Sayı Nelerdir? Asal Sayılar Nelerdir?
Asal Sayı Nedir? Asal Sayı Neye Denir? Asal Sayı Nelerdir? Asal Sayılar Nelerdir?

ASAL SAYILAR

Asal sayilar, 1 ve kendisinden baska pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayilardir En küçük asal sayi, 2' dir 2 asal sayisi disinda çift asal sayi yoktur Yani, 2 sayisi disindaki tüm asal sayilar tek sayidir Asal sayilar kümesi,

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, }

dir

Fermat Teoremi' ne göre, n asal sayi olmak üzere, 2n - 1 seklinde yazilabilen sayilar asal sayidir Örnegin,

22 - 1, 23 - 1, 25 - 1, 27 - 1, 211 - 1,

sayilari, asal sayidir

Aralarinda asal sayilar:

1' den baska pozitif ortak böleni olmayan sayilara, aralarinda asal sayilar adi verilir Birden fazla sayinin aralarinda asal olmasi için, bu sayilarin asal sayi olmasi gerekmez Asal sayilar, kesinlikle aralarinda asal sayilardir Bununla birlikte, 10 ve 81 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, aralarinda asal sayilardir Diger taraftan, 10 ile 8 sayisi birer asal sayi olmamasina ragmen, 2 ortak bölenleri oldugu için, aralarinda asal sayilar degildir Bir sayi aralarinda asal iki sayiya bölünebiliyorsa, bu iki sayinin çarpimina da bölünür

Örnegin,

· 2, 9

· 10, 81

· 5, 29

· 3, 8

· 2, 10, 35

sayi gruplari, ortak tam bölenleri olmadigi için aralarinda asal sayilardir

Asal olmayan sayilara da bilesik sayi adi verilir Dolayisiyla, bilesik sayilarin 1 ve kendisinden baska bölenleri vardir Örnegin, 10 sayisi bir bilesik sayidir Çünkü, 10 sayisinin 1 ve kendisinden baska, 2 ile 5 böleni vardir Buradan, asal olmayan 10 sayisi, birer asal sayi olan 2 sayisi ile 5 sayisinin çarpimi olarak yazilabilir 2 ile 5 sayisina, 10 sayisinin asal çarpani veya böleni denir Yani, bilesik bir sayi, asal sayilarin çarpimi seklinde yazilabilir

Örnek 1:

Asagidaki sayi gruplarindan hangisi aralarinda asaldir?

a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25

Çözüm:

a) 4 ile 20' nin ortak böleni vardir ve bu da 2 ile 4' tür

b) 6 ile 21' in ortak böleni vardir ve bu da 3' tür

c) 27, 36 ve 39' un ortak böleni vardir ve ortak bölen 3' tür

d) 8, 24 ve 36' nin ortak böleni vardir ve ortak bölen 2 ve 4' tür

e) 3, 5 ve 25' in ortak böleni yoktur Çünkü, bu üç sayiyi birden bölen 1' den baska sayi yoktur Dolayisiyla, bu sayilar aralarinda asaldir

Örnek 2:

2m + 3 ile 7n - 5 sayilari aralarinda asal olduguna göre,

ise, m ve n kaçtir?Çözüm:

2m + 3 ile 7n - 5 aralarinda asal olduklarina göre,

2m + 3 = 5 2m = 5 - 3 2m = 2 m = 17n - 5 = 9 7n = 9 + 5 7n = 14 n = 2bulunur

Örnek 3:

a, b ve c birbirinden farkli rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamakli aralarinda asal sayilardir Buna göre, ab + bc toplaminin en küçük degeri kaçtir?

Çözüm:

Toplamin en küçük olmasi için, sayilari en küçük almaliyiz Buna göre, ab = 21 olurken bc = 13 olmalidir Dolayisiyla,

ab + bc = 21 + 13 = 34

olur

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre,

ise, 3x + 2y toplami kaçtir

Çözüm:

2x + y ile 4x + y sayilari aralarinda asal olduguna göre, her ikisinin de ortak böleni olmamasi gerektiginden, esitligin sag tarafi ortak bölenden arindirilmalidir Dolayisiyla,

olur ve buradan,

2x + y = 7 (1)

4x + y = 9 (2)

yazilir Bu denklemleri ortak olarak çözelim Bunun için, (1) nolu denklemi - 1 ile çarpalim ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalim

- 1 / 2x + y = 7

4x + y = 9

- 2x - y = - 7

4x + y = 9

Son iki denklemin toplami

2x = 2

x = 1

bulunur ve x = 1 degerini (1) nolu denklemde yerine koyalim

21 + y = 7

y = 7 - 2

y = 5

bulunur Buradan

3x + 2y = 31 + 25 = 3 +10 = 13

olur

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bilesik sayi, asal sayilarin veya asal sayilarin kuvvetlerinin çarpimi seklinde yazilabilir Bu islemi yapmak için, ilgili sayinin sirasiyla en küçük asal sayidan baslanarak bölünebilmesi arastirilir

Örnek 1:

124 sayisini asal çarpanlarina ayiralim

Çözüm:

124= 3122

Örnek 2:

500 sayisini asal çarpanlarina ayiralim

Çözüm:

500=22555

Asal Sayılar Asal Sayılar Nedir Asal Sayılar Tanımı

Tanımlar
Tanım1
Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır

Tanım2
Bütün bölenlerinin kümesi ancak ve ancak iki elemanlı birden büyük doğal sayılar

Tanım
3Sıfırdan ve birden farklı doğal sayılar kümesinde bir sayının böleni yalnız ve yalnız kendisiyse asal sayıdır
Yukarıdaki tanımlara göre 2,3,5,7,11,13,17 sayıları asaldır Bir tanım gereği asal değildir Sıfır ise Bire bölünebilir fakat kendisiyle bölümünden sonuç sonsuz olduğu için asal sayı değildir Buna göre 2 biricik çift asal sayıdır Diğer bütün sayılar ikiye bölünebildiği için asal değildirler

Tanım4
Asal olmayan 0,1 den farklı doğal sayılara bileşik sayı denir buna göre doğal sayılar kümesi üç kümenin birleşiminden oluşur

A:{0,1}U B
{x:x asal sayı}U C:{x:x>1 x bileşik sayı}=Doğal sayılar kümesi

ASAL SAYILAR ÇİZELGESİNİN BULUNUŞU (ERATOSTEN KALBURU)
Çizelge n sayısına kadar olan asal sayıları bulmak için kullanılır n sayısı aşırı büyük olmamalıdır Yöntem son derece basittir Şimdi n i 110 alarak çizelgeyi çizmeye çalışalım

a)Önce 0 dan 110 kadar bütün doğal sayılar yazılır0 ile 1 asal değildir çizilir
b)İlk asal sayı 2dir Kendinden büyük katları çizilir Çünkü bunlar iki ve bire bölündüğünden asal değildir Dikkat edilirse çizilen ilk sayı
22 =4tür

c)Sonra sıra çizilmeyen ilk sayı olan 3 e gelir 3 asaldır Onunda kendinden büyük katları çizilir İlk çizilen 32 =9 dur
d)Bu şekilde devam edilir72 =49damn sonra devam edilmez çünkü 112 =121 tabloda yoktur Böylece 1 den 110 a kadar olan asal sayılar çizilmeyenler olarak karşımıza çıkar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Bu çizelge metodun ismi olan Eratosten Kalburu ismini alır

ERATOSTEN KALBURUNUN ÖZELLİKLERİ
TEOREM1Eratosten Kalburu metodunda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş en küçük ilk¬ ¬¬¬X sayısı asaldır Bunu olmayana ergi metodundan ispatlayabiliriz

İSPAT
Biran için X in asal olmadığını varsayalım O zaman X in kendisi ve birden başka kendinden küçük bir B böleni, olmalıdır X çizilmeyen en küçük sayıydı (Hipotez) O halde B böleni çizilen sayılar arasındadır Bu ise Bnin daha önce belirtilmiş asal sayılardan birinin kendisinden farklı katı olduğunu gösterir O halde bu asal sayılardan biri B yi böler B de X i böldüğünden (Bölünebilme bağıntısı geçişlidir)Bu asal sayı X i böler Buradan X in bu asal sayının kendisinden farklı katı olduğu çıkar ki o zaman X in çizilmesi gerekir Ama asal sayı olduğu için çizilmemiştir Çelişki vardır Onun için X asal sayı olmak zorundadır

TEOREM2
Eroatosten Kalburunda bir X asal sayısının kendisinden farklı katlarının çizilmesi sırasında ilk silinen sayı XX=X2 dir
İSPAT:X asal sayısının kendisinden büyük X2 den küçük katlarını yazalım
1)X2,X3,X4,X5 Xk,X(X-1 )
1)dekiler ayrıca sıra ile 2nin,3ün,4ün,5ink nın katlarını da verir
Xten küçük birden büyük sayılar
2)2,3,4,5,k,(X-1)
2)deki sayılar X ten küçüktür O halde bu sayılar ya çizilmemiş asal sayıdır yada Xten önceki çizilmiş sayılardır2)deki sayıların belirtecini k alırsak
i)k=asalsa Xk tipinde olan(1)deki sayılar k nın katları arasında çizilmişlerdir
ii)K=asal değilse bu sayı xten küçük bir Z asal sayısının katı olacağından k=ZY
dirXk=X1)deki Xin katları Znin katları arasında çizilmişlerdir
Ohalde xin x2 küçük x ten büyük katları çizilmiştir gen O halde X asalının kendisinden farklı çizilecek ilk sayısı karesidir

ASAL SAYILARDA BAZI ÖZELLİKLER
Bir Bileşik Sayının En Küçük Asal Böleni

Teorem
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asaldır

İSPAT
X sayısının bölenleri kümesi B(x) olsun Bu kümenin en küçük elemanı 1 en büyük elemanı a olan sonlu bir kümedir ve bu sıralamada Y sayısı birden sonra gelen ilk sayıdır Bu sayının asallığını ispat için bir an bu sayının asal olmadığını varsayalım o zaman bu Y sayısının kendinde ve 1 den farklı bir böleni daha olacaktır Yani Başka bir deyişle B(a) kümesinde Y den küçük bir d sayısı olacaktır Halbuki en küçük bölen Y idi ondan küçük sayı olamaz Çelişki vardır Onun için Y sayısı bileşik sayı olmalıdır

Tanım
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asal sayıya bu bileşik sayının en küçük asal böleni denir

Sonuçlar
1a)Bir bileşik sayının en küçük asal böleni,en fazla bölümü kadardır

İspat
Bir A bileşik sayısı alalım bu sayının en küçük asal böleni Y olsun Bölme işleminin sağlamasından A=Yk olur Buradan Anın Y ye bölünmesinden elde edilen k bölümü Anın bir bölenidir Y,Anın birden farklı en küçük böleni olduğundan Y< k olur

1b)Bir bileşik sayının en küçük asal böleninin karesi o sayıdan büyük olamaz

Y£ k idi
YY£ Yk
Y2 £A yazılabilir Yk=A

BİR BİLEŞİK SAYININ ÇARPANLARINA AYRILMASI BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI
Tanım Bir bileşik sayı ,asal sayıların yada sıfırdan farklı doğal kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazılmış ise bu bileşik sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir
Teorem(Aritmetiğin temel teoremi Her bileşik sayı,asal çarpanlarına ayrılabilir ve bu ayrılış ancak ve ancak bir türdedir

İspat Ayrışımın varlığı
Herhangi bir a bileşik sayısı alalım Her bileşik sayının bir en küçük asal böleni vardır teoreminden anın p1 gibi bir asal böleni olmak zorundadır Bölme tanımına göre a=p1 a1 dır ve p1 >1 olduğundan a1