Matematikte Boş Küme Nedir? Matematikte Boş Küme Neye Denir? Matematikte Boş Küme Ne

Matematikte Boş Küme Nedir? Matematikte Boş Küme Neye Denir? Matematikte Boş Küme Ne
Matematikte Boş Küme Nedir? Matematikte Boş Küme Neye Denir? Matematikte Boş Küme Ne
TANIMKüme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidirKümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır “a, A kümesinin elemanıdır” diye okunur b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır “b, A kümesinin elemanı değildir” diye okunur
Kümede, aynı eleman bir kez yazılır
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez
A kümesinin eleman sayısı s ya da n ile gösterilir
B KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir
1 Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır
A = {a, b, {a, b, c}} Ş s = 3 tür
2 Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir
3 Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile
gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak
gösterilir
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir
C EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

D BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir
{} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

E ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1 Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir B É A biçiminde gösterilir
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir
2 Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir
3 Alt Kümenin Özellikleri
i) Her küme kendisinin alt kümesidir
A Ì A
ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir
Æ Ì A
iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir
ıv) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir
v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir
vı) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

F KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1 Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir
2 Birleşim Işleminin Özellikleri
i) A È Æ = A
ii) A È A = A
iii) A È B = B È A
ıv) A È (B È C) = (A È B) È C
v) A Ì B ise, A È B = B
vı) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir
3 Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan
kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B
biçiminde gösterilir
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir

4 Kesişim Işleminin Özellikleri
i) A Ç Æ = Æ
ii) A Ç A = A
iii) A Ç B = B Ç A
ıv) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
v) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
vı) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir Evrensel küme genellikle E ile gösterilir

H BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A' ile gösterilir
A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir
Tümleyenin Özellikleri
i) E = Æ
ii) Æ = E
iii) () = A
iv) A È A = E ve A Ç A = Æ dir
v) A È B = A Ç B
vı) A Ç B = A È B
vıı) E È A = E ve E Ç A = A dir
vııı) A Ì B ise, B Ì A dir

I KUVVET KÜMESI
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir Kuvvet kümesi P ile gösterilir
s = n ise, s(P) = 2n dir

J İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir

Farkla Ilgili Özellikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
i) E – A = A
ii) A – B = A Ç B
iii) A – B = A È B dir
ıv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
i) s(A È B) = s + s – s(A Ç B)
ii) s(A È B È C) = s + s + s – s(A Ç B) – s(A Ç C)
– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s = c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
s(A È B) = d