Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler

Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler
Dik Açılı Üçgenin Özellikleri Nelerdir? Üçgende Pisagor Teoremi - Dik Açılı Üçgenler

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir

Bir dik üçgende kenarlar arasında a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir

Öklid Bağıntıları

Ana madde: Öklid Bağıntıları Öklid Bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse indirilen dikme sonucunda oluşan dik üçgenler arasındaki çeşitli benzerliklerden çıkan bağıntılara verilen isimdir Örneğin indirilen dikmenin karesi, hipotenüsün dikme tarafından ayrılan parçalarının çarpımına eşittir

Özel Dik Üçgenler

Açıya Göre

İkizkenar dik üçgen

45-45-90 Üçgeni

45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır Oran aşağıdaki gibidir:

İspatı ise çok basittir Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar

30-60-90 Üçgeni



30-60-90 üçgeni ve ispatı

Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:

Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir Aynı zamanda da açıortay olacaktır Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır

22,5-67,5-90 Üçgeni

Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5 cm'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur İspatı ise 67,5°'lik açıyı 45° ve 22,5° şeklinde parçalayarak yapılır Bu şekilde altta oluşan ikizkenar dik üçgende alt dik kenar 1 cm olursa hipotenüs cm olur Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından elde edilir

15-75-90 Üçgeni

Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılarara bölünmesidir
Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün katıdır

Kenara Göre

Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır Bazı özel üçgenler şunlardır:
Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10)

Açı Nedir? Açı Neye Denir? Açının Tanımı Nedir?

Aynı doğru üzerinde olmayan, başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine AÇI denir Açıyı oluşturan iki ışının kesişim kümesine DIŞ BÖLGE
AÇININ KÖŞESİ, bu ışınlara ise AÇININ KOLLARI
denir

İÇ BÖLGE
Açılar üç şekilde okunur;
1)Işınların nokta adları alınarak
(ABC)açısı=(CBA)açısı
2)Sadece başlangıç noktası alınarak
açısı şeklinde
Bir Açı, bulunduğu bölgeyi üç bölgeye ayırır
1Açının Kendisi
2Açının Dış Bölgesi
3Açının İç Bölgesi
Açı ölçüsü DERECEDİR Açıların ölçüsünü bulmak için AÇI ÖLÇER veya İLETKİ kullanılır
B)Özel Açılar
1)Dar Açı:Ölçüsü 0º `den büyük ve 90º`den küçük Açılara DAR AÇI denir
2)Dik Açı:Ölçüsü 90º olan Açıya DİK AÇI denir
3)Geniş Açı:Ölçüsü 90º`den büyük 180º`den küçük olan açıya GENİŞ AÇI demir
4)Doğru Açı:Ölçüsü 180º olan açıya DOĞRU AÇI denir
5)Tam Açı:Ölçüsü 360º olan açıya TAM AÇI denir
6)Tümler Açı:İki Açının ölçüleri toplamı 90º olan açıya TÜMLER AÇI denir
7)Bütünler Açı:İki açının ölçüleri toplamı 180º ise bu açılara BÜTÜNLER AÇI denir
8)Bir Noktada Kesişen İki Doğrunun Oluşturduğu Açılar:
a)Komşu Açılar:Başlangıç noktaları aynı iki veya daha fazla açıya KOMŞU AÇILAR denir
b)Komşu Tümler Açılar: Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 90º olan iki farklı açıya KOMŞU TÜMLER AÇILAR denir
c)Komşu Bütünler Açılar:Başlangıç noktaları aynı, ölçüleri toplamı 180º olan açıya KOMŞU BÜTÜNLER AÇILAR denir
d)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları olan iki açıya TERS AÇI denir Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir
9)Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar
a)Yöndeş Açılar:Şekildeki A ve F, D ve G, E ve C, B ve H gibi
konumlanan açılara YÖNDEŞ AÇILAR denir Yöndeş Açılar C A
birbirine eşittir D B
E F
b)Ters Açılar:Köşeleri ortak ve kenarları birbirine zıt ışınları G H
olan iki açıya TERS AÇI denir Ters açıların ölçüleri birbirine
eşittir
c)Dış Ters Açılar:Şekildeki G ve A, H ve C Açıları gibi konumlanan açılara DIŞ TERS AÇILAR denir Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir
d)İç Ters Açılar:Şekildeki B ve E, D ve F açıları gibi konumlanan açılara İÇ TERS AÇILAR denir
e)Karşı Konumlu Açılar:Şekildeki B ve F,E ve D açıları gibi konumlanan açılara KARŞI KONUMLU AÇILAR denir Karşı konumlu açıların toplamı 180º`dir
C)Açı Ortay
Bir açının kollarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların belirttiği şekle AÇI ORTAY denir Açı ortay açıyı iki eş açıya ayırır Açı ortay üzerindeki her nokta açının kollarından eşit uzaklıktadır
Üçgenler
A)Üçgen
Bir doğru üzerinde olmayan (doğrusal olmayan) A,B,C gibi üç noktanın birleşiminden oluşan kapalı şekle ÜÇGEN denir
(ABC Üçgeni)=[AB]U[AC]U[CB] DIŞ
BÖLGE
Bir üçgen noktalar kümesidir ve içinde bulunduğu İÇ
düzlemi üç ayrı noktalar kümesine ayırır Bunlar BÖLGE
a)Üçgenin İçinde Kalan Noktalar Kümesi
b)Üçgenin Kendisi
c)Üçgenin Dışında Kalan Noktalar Kümesi
B)Bir Üçgenin Temel Elemanları
1Üçgenin Kenarları[BC],[AC},[AB] doğru parçalarına “Üçgenin Kenarları” denir Kenar uzunlukları karşılarındaki açıların kenarlarıyla adlandırılırlar
2Üçgenin İç Açıları:Üçgenin iki kenarının oluşturduğu her bir açı “Üçgenin İç Açısı” olarak adlandırılır Bir üçgenin iç açıları toplamı 180º`dir
3Üçgenin Dış Açıları:Üçgenin iç açılarının komşu bütünleri olan açılara “Üçgenin Dış Açıları” denir Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir Bir üçgenin iç açısıyla dış açısının toplamı 180º`dir Bir üçgenin dış açıları toplamı ise 360º`dir
C)Bir Üçgenin Yardımcı Elemanları
1Üçgenin Yüksekliği:Üçgenin bir köşesinden karşı tarafa indirilen, köşe ile kenar arasında aklan doğru parçasına “Üçgenin Yüksekliği” denir”H” ile gösterilir
2Üçgenin Kenar Ortayları:Üçgenin bir köşe ile bu köşenin karşısındaki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına “Üçgenin Kenar Ortayı” denir “V” ile gösterilir
3Üçgenin Açı Ortayı:Üçgenin açılarını iki eş açıya bölen doğruların,köşe ile kenar arasında kalan doğru parçasına “ÜÇGENİN AÇI ORTAYI” denir ” N” ile gösterilir
D)Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağlantılar
Bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenar uzunluğundan büyük; iki kenar uzunluğunun farkı, üçüncü kenarı uzunluğunda küçüktür
E)Üçgenin Açıları Arasındaki Bağlantılar
Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile diş açının toplamı 180º`dir
Bir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir
F)Üçgenin Kenar Uzunluklar ve Açıları Arasındaki Bağlantılar
Bir üçgende ölçüsü büyük olan kenar karşısında büyük açı, küçük olan kenar karşısında küçük kenar vardır
G)Üçgenin Çeşitleri
Kenarlarına Göre Üçgenler
a)Çeşit Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi farklıysa bu üçgene “Çeşit Kenar Üçgen” denir
b)İkiz Kenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının iki tanesi eşit olan üçgene “İkiz Kenar Üçgen” denir Bir ikizkenar üçgenin, taban açıların ölçüleri birbirine eşittir
c)Eşkenar Üçgen:Üçgenin kenarlarının hepsi eşit olan üçgene “Eşkenar Üçgen” denir Bir eşkenar üçgenin iç açıları 60 `dir
2Açılarına Göre Üçgenler
a)Dar Açılı Üçgen:Üçgenin açılarından her birinin ölçüsü 90º`den küçük olan üçgene “Dar Açılı Üçgen” denir
b)Geniş Açılı Üçgen:Bir Açısı geniş açı olan üçgene “Geniş Açılı Üçgen” denir
c)Dik Açılı Üçgen:Açılarından birisi dik açı olan üçgene “Dik Açılı Üçgen” denir
H)Üçgenin alanını ve Çevresini Bulma
Üçgenin çevresini bulabilmek için kenarlar toplanır
Ç = a + b + c
Üçgenin alanını bulmak için yükseklikle kenar çarpılır ve ikiye bölünür
h x a h x b h x c
A= ------- = ------- = -------
2 2 2