Dik Prizmalar - Dik Prizmalar Ve Özellikleri - Dik Prizmaların Özellikleri Nelerdir?

Dik Prizmalar - Dik Prizmalar ve Özellikleri Nelerdir ?
Dik Prizmalar - Dik Prizmalar ve Özellikleri - Dik Prizmaların Özellikleri Nelerdir?
DİK PRİZMALAR

Dik Prizmalar - Dik Prizmalar ve Özellikleri Nelerdir ?
DİK PRİZMALAR

1Dik Prizmalar ve Özellikleri

Tabanları herhangi bir çok gensel bölge olan yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden meydana gelen cisimlere dik prizma denir
Prizmalar tabanlarına gore dikdörtgenler prizması,kare dik prizma,üçgen dik prizma,yamuk dik prizma diye adlandırılırlar

Dik Prizmanın özellikleri:

1Tabanları eş ve paraleldir
2Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir
3Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir
4Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir
5Tabanları düzgün çokgensel olan dik prizmalara düzgün dik prizma denir

2Dik Prizmanın alanlarını ve hacimlerini hesaplama

21Dikdörtgenler prizması

Tanım: Tabanları dikdörtgensel bölge olan dikprizmaya dikdörtgenler prizması denir

Özellikleri:

1 6 yüzü 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır
2 Karşılıklı yüzleri birbirine parallel ve alanları eşittir
3 Karşılıklı ayrıtları dörder dörder parallel ve uzunlukları eşittir
4 Bir köşeden çıkan ayrıtlara prizmanın boyuları denirBu boyutlar en boy ve yüksekliktir
5 Bir yüze ait karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasına yüz köşegeni denir
6 Aynı yüze ait olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir

Dikdörtgenler Prizmasının Alanı:

Taban alanı, Ta=ab
Yanal alanı:Ya=Çh=2(a+b)c

Not: Dikdörtgenler prizmasının yanal alanı,taban çevresinin uzunluğu ile yan ayrıtının çarpımına eşittir

Bütün alan: A=2Ta+Ya , A=2(ab)+2(a+b)c
A=2(ab+ac+bc) olarak yazılır

Not: Dikdörtgenler prizmasının alanı,bir köşeden çıkan üç ayrıtının ikişer ikişer çarpımlarının toplamlarının iki katına eşittir

Dikdörtgen Prizmasının Hacmi

Bütün dik prizmalarda hacim, taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımına eşittir
V=Tah=(ab)c V=abc

22Kare Dik Prizma

Tanım: Tabanları karesel bölge olan dik prizmaya kare dik prizma denir

Özellikleri

1Dikdörtgenler prizmasının bütün özelliklerini taşır
2Tabana ait yüz köşegenin uzunluğu, e=a√2
3Cisim köşegenin uzunluğu, f=√e²

Kare dik prizma alanı

Taban alanı, Ta=a²
Yanal alanı, Ya=4ah

Not: Kare dik prizmanın yanal alanı,taban çevresinin uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir

Bütün alanı, A=2Ta+Ya , A=2a²+4ah

Not: Kare dik prizmanın alanı,bir yan yüzünün alanın 4 katı ile iki taban alanının toplamına eşittir

Kare dik prizmanın hacmi

V=Tah den, V=a²h

23 Küp

Tanım: Bütün ayrıtları eş olan dikdörtgenler prizmasına küp denir

Özellikleri

1Dikdörtgenler prizmasının tüm özelliklerini taşır
2Bütün yüzleri birbirine eş karesel bölgelerdir
3Yüz köşegenin uzunluğu e=a√2
4Cisim köşegeninin uzunluğu f=a√3

Not: Küpün cisim köşegenin uzunluğu,bir ayrıtın uzunluğunun √3 katına eşittir

Küpün alanı

Taban alanı,Ta=a²
Yanal alanı;Ya=Çh , Ya=4a²

Not: Küpün yanal alanı bir ayrıtının karesinin 4 katına eşittir

Bütün alan,A=6a² Küpün bütün alanı bir ayrıtının karesinin 6 katına eşittir

Küpün hacmi

V=Tah , V=a²a , V=a³
Küpün hacmi,bir ayrıtının küpüne eşittir

24Üçgen Dik Prizma

Tanım: Tabansal üçgensel bölge olan dik prizmaya,üçgen dik prizma denir

Özellikleri

1Tabanları birbirine eş üçgensel bölgelerdir
2Yan yüzleri birer dikdörtgensel bölgedir
3Yanal ayrıtları eş ve birbirine paraleldirYanal ayrıtlarının her biri prizmanın yüksekliği olur
46 köşesi,9 ayrıtı ve 5 yüzü vardır

Üçgen dik prizmanın alanı

Taban çevresinin uzunluğu Ç=a+b+c olsun
Tabanların yüksekliği k,prizmanın yüksekliği de h olsun

Taban alanı,Ta=ak/2

Yanal alanı,Ya=Çh, Ya=(a+b+c)h

Bütün alanı,A=2Ta+Ya, A=ak+(a+b+c)h

Not: Uçgen dik prizmanın alanı,taban çevresinin yükseklik ile çarpımının iki taban alanı ile toplamına eşittir

Üçgen dik prizmanın hacmi

V=Tah, V=1/2akh dir

25Düzgün Altıgen Dik Prizma

Tanım: Tabanları düz olan altıgensel prizmaya düzgün altıgen dik prizma denir

Özellikleri

1Tabanları düzgün altıgensel bölgedir ve birbirine eşittir
2Yan yüzleri birer dikdörtgensel bölgedir ve birbirine eşittirler
3Yanal ayrıtları eş ve birbirine paraleldirYanal ayrıtlarının her biri prizmanın yüksekliği olur
412 köşesi,18 ayrıtı ve 8 yüzü vardır

Düzgün altıgen dik prizmanın alanı

Taban çevresinin uzunluğu Ç=6a olsun, prizmanın yüksekliği de h olsun
_
Taban alanı,Ta=3√3a2

Yanal alanı,Ya=Çh, Ya=6ah
_
Bütün alanı,A=2Ta+Ya, A=6√3a2+6ah

Düzgün altıgen dik prizmanın hacmi

_
V=Tah, V=3√3a2h dir

26Silindir

Tanım: Bir dikdörtgensel bölgenin kenarlarından biri etrafında 360 derece döndürülmesiyle oluşan cisme dik silindir denir

Dik silindir tabanları daire olan dik prizmadır Dik silindirin alanı ve hacmi prizmalar gibi hazırlanır

Dik silindirin alanı:

Taban alanı, Ta=πr² Yanal alanı, Ya=2 π r h

Bütün alanı, A=2Ta+Ya=2π r²+2 π r h

A=2 π r (r+h)

Dik silindirin hacmi:

V=Tah , V= π r²h

Şekil-1: Tabanları çeşitli çokgenlerden oluşan prizmaların açık görünüşleri

Konuyla İlgili Örnekler:

1- Bir düzgün altıgen dik prizmanın taban ayrıtlarının birinin uzunluğu 10 cm ve yüksekliği 8 cmdir

a Taban alanı,
_
Ta=(3*√3 )*a2
2 _
Ta=(3*√3)*102
2
_ 50 _
Ta=(3x√3)*100=150√3 cm2
21
b Yanal alanı,

Ya=6ah=6108=480cm2

c Bütün alanı,
_
A=2TaYa=2150√3 +480
_ _
A=300*√3 + 480=60(5*√3+8)cm2

d Hacmi,
_
V=Tah=3*√3*a 2*h
2
_ _
V=Tah=3*√3*102*8=3*√3*100*8
_2 2
V=1200*√3 cm3

2Taban yarıçapı 7 cm yüksekliği 10 cm olan silindirin:

a Taban alanı,

Ta=πr 2=2272=154 cm2
7
b Yanal alanı,

Ya=2 πrh=222710=440 cm2
7
c Bütün alanı,

A=2 πr(r+h)=222 7(7+10)=748 cm2
7
d Hacmi,

V= πr2h=22710=1540 cm3
7

3Taban ayrıtı 10 cm ve yüksekliği 14 cm olan bir kare dik prizma vardır

aTaban alanı

Ta=a2=102
Ta=100cm2

bYanal alanı

Ya=4ah
Ya=41014=1056
Ya=560 cm2

cBütün alanı

A=2a2+4ah
A=2102+41014
A=200+560
A=760 cm2

dHacmi

V=a2h
V=10214
V=1400 cm3

Bu Konuyla İlgili Fen ve Anadolu Lisesi Soruları

1Yarıçapı ile yüksekliğinin uzunlukları eşit olan bir silindirin hacmi 81 cm3 tür Bu silindirin yanal alanı kaç cm2dir( π =3) (1997 FL)

h=r Hacim= πr2h 81=3r2r 27=r3 r=3 cm

Yanal alan= 2πrh
=2333
=54 cm2 olur

2Kenar uzunlukları 8 cm ve 6 cm olan bir dikdörtgen 8 cm lik kenarı etrafında 360 derece döndürülüyorMeydana gelen cismin hacmi kaç cm3 tür?( π =3) (1997 DPY)

silindirin hacmi= πr2h
=3368
=864 cm3 olur

3Bır dikdörtgen prizmasının farklı üç yüzününn alanları;16 cm2,25 cm2 ve 36 cm2 ise hacmi kaç cm3 tür?

ab=16 Taraf tarafa çarpalım
ac=25
* bc=36

a2b2c2=162536

Hacim=abc olduğundan,
______ _______
√a2b2c2=√162536 abc=456=120 cm3

3Şekildeki kare dik prizma ile dik silindirin yüksekliklerinin uzunlukları ve yanal alanları birbirine eşittirBuna göre,prizmanın hacminin silindirin hacmine oranı kaçtır?
4ah=2 πrh a=2 πr a=πr sonuç olarak π
4 2 4

4 Yarı çapı r birim olan silindirin hacmi 360 br3 ise,yanal alanı kaç br2 dir?

Hacmi=360r= π r2h
360= π rh

Yanal alan=2πrh
=2360
=720 br2

5 Tabanının bir kenarı 4 cm,yüksekliği 10 cm olan kare prizma şeklindeki kutu,silindir şeklindeki bir kutu içerisine koyuluyorSilindir şeklindeki kutunun hacmi en az kaç cm3 olmalıdır?

H= πr2h__
= π(2√2 )210
=80 π cm3 olur

6 Bir ayrıtının uzunluğu 8cm olan küpün içine yerleştirilen, en büyük hacimli koninin hacmi kac cm3 tür? (π=3) alınız

Bir küpün içerisine yerleştirilen en büyük hacimli koninin yüksekliği küpün bir kenarına; koninin yarıçapı ise küpün bir kenarının yarısına eşittir Buna göre,

Koninin hacmi=⅓πr2h
=⅓3428
=168
=128cm3 olur