Arşimet Vikipedi (Aritmetik Spiral) Arşimet Spirali Vikipedi, Özgür Ansiklopedisi

**Prof. Dr. Sinsi** · 09-11-2012

AArşimet Spirali (Aritmetik Spiral) Arşimet Spirali Vikipedi, Özgür Ansiklopedisi
Arşimet Vikipedi (Aritmetik Spiral) Arşimet Spirali Vikipedi, Özgür Ansiklopedisi

Arşimet Spirali
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Archimedean_spiral

png
Üç tam dönüş yapmış bir Arşimet spirali
Arşimet spirali veya aritmetik spiral, iki boyutlu düzlemde, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğru üzerinde, sabit hızla dışarıya doğru ilerleyen bir noktanın izleyeceği eğridir

İsmini, M

Ö

3

yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan Yunan matematikçi Arşimet'ten alır

Kutupsal koordinat sisteminde, Arşimet spirali şu denklemle ifade edilir:
as_1

png
Burada a ve b gerçel sayılardır

a'nın değerini değiştirmek, spirali döndürecek, b'nin değerini değiştirmek ise spiralin kolları arasındaki mesafeyi azaltıp artıracaktır

Orijinden dışarıya doğru herhangi bir yönde çıkan bir doğrunun spirali keseceği noktalar, birbirine eşit uzaklıktadır

(θ radyan cinsinden ölçülürse bu uzaklık 2πb'ye eşittir

) Logaritmik spiralde ise bu noktaların aralarındaki mesafeler, dışarıya doğru gidildikçe bir geometrik dizi halinde artar

Doğada rastlanan durağan spirallerin hepsi (notilus kabuğu, sarmal galaksi, örümcek ağı, vs) logaritmik spirallerdir

Güneş'in manyetik alanı gibi pek çok dinamik spiral ise Arşimet spiralidir

θ < 0 ve θ > 0 hallerinde, birbirinin y ekseni üzerinden yansıması olan iki ayrı spiral elde edilir

Yandaki resimde θ, 0 ve 6π arasında değişmektedir

Bazı kaynaklarda Arşimet spirali şu denklemle tanımlanır:
as_2

png
Burada c yine bir bir reel parametredir

c 1 alınırsa yukarıda anlatılan standart Arşimet spirali elde edilir

c için 1'den farklı değerler alındığında hiperbolik spiral, Fermat spirali ve lituus gibi çeşitli eğriler oluşur

Uygulamalar
Two_moving_spirals_scroll_pump

gif
Temelde iki Arşimet spiralinden oluşan sarmal kompresörün çalışma ilkesi

Arşimet spiralinin gerçek dünyada pek çok uygulaması vardır

Örneğin, Arşimet spirali şekilli ve birbirinin içine geçmiş aynı büyüklükteki iki sarmal, sıvı ya da gaz gibi akışkanları pompalamak ya da sıkıştırmak için kullanılan sarmal kompresörlerin temelini oluşturur

Sarmallardan biri sabit dururken, diğeri kendi çevresinde dönmemek üzere merkez dışı (eksantrik) bir dönüş hareketi yapar ve akışkanı iki sarmalın duvarları arasında sıkıştırarak ilerletir

Gramofon plakların çok erken dönemlerinde, plak üzerindeki oluklar bir Arşimet spirali oluşturacak şekilde açılır ve bu şekilde, olukların birbirlerinden eş uzaklıkta durmaları sağlanarak, bir plağın üstüne en çok miktarda müzik kaydedilmeye çalışılırdı

Ancak sonraları, daha iyi ses kalitesi elde edebilmek için bu uygulamadan vazgeçilmiştir

09-11-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Arşimet Vikipedi (Aritmetik Spiral) Arşimet Spirali Vikipedi, Özgür Ansiklopedisi AArşimet Spirali (Aritmetik Spiral) Arşimet Spirali Vikipedi, Özgür Ansiklopedisi Arşimet Vikipedi (Aritmetik Spiral) Arşimet Spirali Vikipedi, Özgür Ansiklopedisi Arşimet Spirali Vikipedi, özgür ansiklopedi Archimedean_spiralpng Üç tam dönüş yapmış bir Arşimet spirali Arşimet spirali veya aritmetik spiral, iki boyutlu düzlemde, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğru üzerinde, sabit hızla dışarıya doğru ilerleyen bir noktanın izleyeceği eğridir İsmini, MÖ 3 yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan Yunan matematikçi Arşimet'ten alır Kutupsal koordinat sisteminde, Arşimet spirali şu denklemle ifade edilir: as_1png Burada a ve b gerçel sayılardır a'nın değerini değiştirmek, spirali döndürecek, b'nin değerini değiştirmek ise spiralin kolları arasındaki mesafeyi azaltıp artıracaktır Orijinden dışarıya doğru herhangi bir yönde çıkan bir doğrunun spirali keseceği noktalar, birbirine eşit uzaklıktadır (θ radyan cinsinden ölçülürse bu uzaklık 2πb'ye eşittir) Logaritmik spiralde ise bu noktaların aralarındaki mesafeler, dışarıya doğru gidildikçe bir geometrik dizi halinde artar Doğada rastlanan durağan spirallerin hepsi (notilus kabuğu, sarmal galaksi, örümcek ağı, vs) logaritmik spirallerdir Güneş'in manyetik alanı gibi pek çok dinamik spiral ise Arşimet spiralidir θ < 0 ve θ > 0 hallerinde, birbirinin y ekseni üzerinden yansıması olan iki ayrı spiral elde edilir Yandaki resimde θ, 0 ve 6π arasında değişmektedir Bazı kaynaklarda Arşimet spirali şu denklemle tanımlanır: as_2png Burada c yine bir bir reel parametredir c 1 alınırsa yukarıda anlatılan standart Arşimet spirali elde edilir c için 1'den farklı değerler alındığında hiperbolik spiral, Fermat spirali ve lituus gibi çeşitli eğriler oluşur Uygulamalar Two_moving_spirals_scroll_pumpgif Temelde iki Arşimet spiralinden oluşan sarmal kompresörün çalışma ilkesi Arşimet spiralinin gerçek dünyada pek çok uygulaması vardır Örneğin, Arşimet spirali şekilli ve birbirinin içine geçmiş aynı büyüklükteki iki sarmal, sıvı ya da gaz gibi akışkanları pompalamak ya da sıkıştırmak için kullanılan sarmal kompresörlerin temelini oluşturur Sarmallardan biri sabit dururken, diğeri kendi çevresinde dönmemek üzere merkez dışı (eksantrik) bir dönüş hareketi yapar ve akışkanı iki sarmalın duvarları arasında sıkıştırarak ilerletir Gramofon plakların çok erken dönemlerinde, plak üzerindeki oluklar bir Arşimet spirali oluşturacak şekilde açılır ve bu şekilde, olukların birbirlerinden eş uzaklıkta durmaları sağlanarak, bir plağın üstüne en çok miktarda müzik kaydedilmeye çalışılırdı Ancak sonraları, daha iyi ses kalitesi elde edebilmek için bu uygulamadan vazgeçilmiştir