çokgenler

• ÇOKGENLER

1 Çokgen
Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir
a İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

b Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denirdışbükey çokgen

c Çokgenlerin elemanları

• A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır

• İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir
• İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir
• Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir

2 Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri
a İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı
(n - 2) 180° Üçgen için (3 – 2) 180° = 180°
Dörtgen için (4 – 2) 180° = 360°
Beşgen için (5 – 2) 180° = 540°
b Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,
Dış açılar toplamı =360° c Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir

• n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
  (n – 2) adet üçgen elde edilebilir

3 Düzgün Çokgenler
Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir

a şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer Bu çembere çevrel çember denir b Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir

|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||

c Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir

[AF] // [CD], [AB] // [ED][AH] // [DE], [AB] // [FE]
d Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir

e n kenarlı düzgün bir çokgende
f Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı
4 Düzgün Çokgenin Alanı
a n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı bn kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı (Bu açı aynı zamanda dış açıdır) ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

• Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur

Bir kenarına a dersek

• DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ

1 Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir
2 Bir dörtgende karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir 3 Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü
bilinen dörtgenin alanı;
ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile a
biliniyor

• Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde
• (sin 90° = 1 olduğundan)

• Köşegen doğruları birbirine dik ise

4 Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı; [AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;
5 Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı;ABCD dörtgeninde [AC] ^ [BD] Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir

• Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir

ABCD dörtgeninde
6 Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı alanlar;ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir 7 Dörtgenlerde kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir [KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| =
[LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =

• Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir

[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise KLMN dikdörtgendir