özel üçgenler

• DİK ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır şekilde, m(A) = 90°
[BC] kenarı hipotenüs
[AB] ve [AC] kenarları
dik kenarlardır

• PİSAGOR BAĞINTISI

Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir ABC üçgeninde m(A) = 90°


a2=b2+c2

• ÖZEL DİK ÜÇGENLER

1 (3 - 4 - 5) Üçgeni
Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi
2 (5 - 12 - 13) Üçgeni
Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi
Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir 3 İkizkenar dik üçgen
ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2
m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende
hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır
4 (30° – 60° – 90°) Üçgeni
ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde
ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)
üçgenleri elde edilir
|AB| = |AC| = a
|BH| = |HC| = pisagordan (30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir 60° nin karşısındaki kenar,
30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır
5 (30° - 30° - 120°) Üçgeni (30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur
6 (15° - 75° - 90°) Üçgeni (15° - 75° - 90°) üçgeninde
hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs
|BC| = 4h olur Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört
katıdır

• ÖKLİT BAĞINTILARI

Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır 1 Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir
h2 = pk 2 b2 = ka c2 = pa 3 ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

ah =bc

• Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir
  
  Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz

• İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır 1 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|
|BH| = |HC|
m(B) = m(C)
2 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|,
[AH] ^ [BC]
m(B) = m(C)
3 Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| = |AC|
m(BAH) = m(HAC)
m(B) = m(C)
İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir 4 İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur 5 İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir 6 İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler 7 İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir
|AB| = |AC| Þ |LC| = |HP| + |KP| 8 İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir
EŞKENAR ÜÇGEN
1 Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc
2 Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik Bu durumda eşkenar üçgenin alanı
yükseklik cinsinden alan değeri
Alan(ABC) =
3 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;
4 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde