Modüler Aritmetik

MODÜLER ARİTMETİK

MODÜLER ARİTMETİK
a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir

Ü
ise a º b (mod m)
a = b + mk, k Î Z

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:

0, 1, 2, 3, 4, , (m – 1) dir

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir
Buna göre,
Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,
1) a + c º b + d (mod m)
2) a – c º b – d (mod m)
3) a c º b d (mod m)
4) an º bn (mod m)
5) a – b º 0 (mod m)
6) k a º k b (mod m) dir
7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise
8) a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır

Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

xm – 1 º 1 (mod m) dir

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir
Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi
m = ak b r c p ve
xT º 1 (mod m) dir
Ü m asal sayı ise, (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir