Olasılık

OLASILIK

A TANIM
Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır



B OLASILIK TERİMLERİ
Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (vb) tesbit etme işlemine deney denir

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir



A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun

A kesişim B = boşküme

ise, A ve B olayına ayrık olay denir






C OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun

P : K ise [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir



*** 1) Her A eleman K için, 0 küçük eşit P(A) küçükeşit 1 dir Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir

3) A, B elemanıdır K ve A kesişim B = boşküme ise,

P(A birleşim B) = P(A) + P(B) dir



** 1)

2) A altküme B ise P(A) küçük eşit P(B) dir

3) tümleyeni olmak üzere,



4) P(A birleşim B) = P(A) + P(B) – P(A kesişim B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,
(E = A birleşim B birleşim C)

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir



** 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2 üzeri n dir

2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6 üzeri n dir



D BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir

** A ve B bağımsız iki olay olsun A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A kesişim B) = P(A) P(B) dir



E KOŞULLU OLASILIK
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir



Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

dir

olasılık


OLASILIĞIN TANIMI

:Olasılık (bir olayın olasılığı) ilk yaklaşımda, herhangi bir olay için elverişli hallerin bütün olanaklı hallere oranıdır
Örneğin1 İsabet olasılığı: Ateşli bir silahla (tüfek, tank topu, top) atış yapıldığında, belirli bir alanda belli sayıda isabet sağlama olasılığıdır 2 Tahrip olasılığı: Nükleer atışta olduğu gibi,ancak bir merminin kullanıldığı tekli atışlarda, bir hedefi, önceden belirlenen tahribe az çok eşit oranda tahrip etme olasılığıdır

OLASILIĞIN TARİHÇESİ VE GELİŞİM SÜRECİ:

Olasılıklar hesabını kökeni,rastlantı oyunlarının oynanmasına ve oyuncuların, bütün olasılıklar bir bir göz önüne alarak oyunlarının şanslarını hesaplama isteklerine dayanır Böylece, G Cardano' nun (1501-1576) ölümünden sonra yayımlanmış De Ludo Alae (rastlantı oyunu üzerine) adlı kitabında, bir parti oyunda verilen bir düzeni gerçekleştiren (örneğin: 3 zar atarak 10 benek elde etmenin 27 biçimi vardır) sonuç sayısıyla, uzun bir dizide bu düzenin ortaya çıkış yinelenimi arasında ilişki kurar Rastlantının, 16 yüzyılda beliren ve 17 yüzyılda doğruluğu ortaya çıkan nicel ele alınış biçimi, dünyaya karşı yeni bir davranış ifade eder
Olasılıklar hesabının ilk tohumlar, Pascal ve Fermat arasındaki mektuplaşmada görülmüştür Bu, Şovalye Mere'nin Pascal'a önerilen ve onları araştırmalarının kökeninde bulunan oyun problemidir Oyunculardan birinin kazanmasından önce yarıda kesilen bir rastlantı oyununda, birçok partide konmuş parayı paylaşmak, yani her bir oyuncunun gelecek partilerde rastlantıda bekleyebileceğini hesaplamak söz konusudur Pascal'ın, özellikle de Fermat'ın çözümü, devşirim çözümlemesiyle de ilgiliydi Bu çözümlemenin ilk avadanlıkları hazırlanmak üzereydi Pascal için kurami ancak deneyin çözebildiği problemleri egemenlik altına almaya varır: ''Böylece, ispatların kesinliğini rastlantının belirsizliğine birleştirerek ve nesneleri zıt görünüş halinde uzlaştırarak, kuram, adını ikisinden alıp, haklı olarak şu şaşırtıcı adı benimseyebilir: Rastlantının Geometrisi''
Jacques Bernoulli'nin ölümünden sonra yayımlana yapıtı Ars Conjectandi (1713), Huygens'in bir inceleme yazısını (De Ratiociniis in Ludo Aleae, 1657) genelleştirerek, gelişimin başlangıcını bir matematik bilim koluna doğru yöneltiyor: Devşirim hesabını sistemleştiriyor, onu rastlantı oyunlarına uyguluyor ve esaslı yenilikler getiriyordu
Bu çalışmalara koşut olarak, A de Moivre, Laplace'yi pek etkileyecek son derece de sağlıklı, çok sayıda baskı yapan bir inceleme kitabını İngiltere' de yayımladı (Doctrine of Chances 1718) Moivre, olasılığı ve matematik beklentiyi, bağımsız ve koşullu bağıllıkları tanımlıyor ve toplama ile çarpma kurallarını kuruyordu
Çok sayıdaki doğal olayların, bağımsız rastlantısal değişkenin toplamı olarak göz önüne alınabildiği ölçüde, bu yasanın temel bir önemi bulunmaktadır Kendi yönünden Th Bayes (1702-1761) nedenlerin olasılığının, ya da önsel olasılığın incelenmesine ulaşılıyor; ''öznel'' bir kavramı bu ilk matematikleştirme girişimi birbiri ardınca
Cournot, Boole, Popper'in itirazlarına uğramış ve günümüz istatikçilerimizin de aralarında taraflara ayrılmasına neden olmuştur
Laplace'nin Theorie Analytique Des Probabilities (olasılıkların çözümlemeli kuramı) 19 yüzyılın başvuru yapıtı olacaktır Hem doğanın gerekirci görüşüyle, hem de bilginin olasılıkçı görüşüyle devinime itilmiş olarak Laplace kendi kuramını ''Gök'' ve ''Yer Mekaniği'ne'' uyguluyor, hatalar hesabını geliştiriyor, burada, en küçük kareler yöntemi kuralını elde ederek, ölçüleri toplu rastlantı olaylarına bağlıyor Poisson, Bernoulli 'nin, Moivre ve Laplace'nin sonuçlarını genelleştiriyor, bağımsız olaylar dizisine genelleştirdiği tanımladığı en büyük kareler kanıtlıyor; bu sırada Gauss, Laplace_Gauss yasasına dayanarak, hataların genel bir kuralını geliştirmiş, bu kural sayısal cetvelleri özellikle gökbilimde ve gemicilikte kullanılanları düzeltmeyi sağlayacaktır
Öte yandani bilim tarihçisi C C Gillispie, Laplace'nin yapıtının Fransa'nın 1770 yıllarında tanık olduğu engin uygar bilim deviniminden nasıl beslendiğine dikkat çekmektedir Codorcet'in 1785' teki inceleme kitabı,olasılıklar hesabının toplum alanına uygulaması konusunda, çağdaşları üzerinde özellikle derin bir etki yapıyor Daha sonra, A Quetelet, bir toplum biliminin yasalarını belirlemeye çalışarak ve çok sayıda ulusal ve uluslararası kurumun doğuşuna katılarak, istatistikte yeni bir çığır açıyor
Ama Laplace' nin açıklamalarındaki sağlık noksanlığı, J Bienayme' nin çalışmaları sayesinde 19 yüzyılın 2 yarısında olasılıkların amaç dışı kullanımına yol açmış, Galton-Walton zinciri adıyla bilinen, özel rastlantısal değişkenlerden oluşmuş bir dizinin tam incelenmesini ilk önce, hemen hemen tanınmamış Bienayme yürütmüş, zincir adını vermeleri, bu iki bilginin rastlantısal değişkenden ancak 30 yıl sonra haberdar olacaklarından dolayıdır
Darwin' in evrim kuramının itişiyle, 19 yüzyılın son dörtte biri süresinde İngiltere' de yeni bir olasılıkçı ekol açılıyor ve bütün çağdaş istatistiği kuruyor Toplum sınıflarının, kendilerini oluşturan kişilerin doğuştan yetenekleri arasındaki hiyerarşiyi yansıttığına inanmış önemli üyeler için, her değişim ilerleme kaynağıdır
19 yüzyılın sonuna doğru, olasılıkçı dünya görüşü, istatistik mekaniğin ve maddenin kinetik kuramının gelişimi sayesinde kendini daha da çok kabul ettirecektir Tüm bunlara göre; ''rastlantısal bir evrimde, olasılık yasası ancak ilk değere bağlı olup geçmiş, ancak verdiği sonuçla araya girer'' görüşü desteklenir olmuştur
20 yüzyılda yeni çözümlemeli aletlerin çıkışı Borel ve Lebesgue tarafından pek genel bir integralleme kuramının kuruluşu, olasılılar kuramını derinden derine alt üst etmek üzeredir Temel kavramlarını kesinleştirme gerekliliği, onun uygulama alanları çoğalıyorken kendini duyuruyor Emile Borel olasılığın, ölçü kuramı üzerine kurulu bir tanımını sağlıyor 1933' te Kolmogorov, olasılıklar hesabnın, yaygın biçimde kabul edilen bir aksomatiğini öne sürüyor
Tüm bu ayrıntılardan da anlayabileceğimiz gibi, olasılık; insanolğlu için yaklaşık 600 yıldır olmazsa olmazlardan biri olmuş ve sürekli matematiğin gündemine oluşturmuştur Pascal ve Fermat arasındaki mektuplaşmalar ise bugünün istatistik, nüfus, kinetik ve bunun gibi daha birçok bilim dalının oluşmasını ve gelişmesini sağlamıştır

OLASILIĞIN ÖZELLİKLERİ:

1 P fonksiyonu artandır ACB (A gerektirir B) ise, P(A) küçük veya eşittir P(B) dir
2 Olanaksız olayın olasılığı 0'dır
3 Kesin bir olayın olasılığı 1'dir
4W' nin her (A,B) ikilisi için, P(AUB)= P(A) + P(B) - P(AÇB) dir
5 Karşt olaylardan oluşan her (A,A') ikilisi için, P(A) + P(A') = 1 dir
6 Bir tam olay sistemi oluşturan her; n
(A,) küçük(eşit) 1 küçük(eşit) n ailesi için; SP(A,)=1
i 1


OLASILIK HESAPLARI:


Elimize altı yüzlü hilesiz bir zar alalım Ya da Öyle varsayalım Her yüzün gelme olasılığı aynıdır: 1 gelme olasılığı, 2 gelme olasılığından fazla değildir Zarın altı yüzü olduğundan ve her sayının gelme olasılığı aynı olduğundan, örneğin yek gelme olasılığına 1/6 demek en doğrusudur Eğer i = 1, , 6 ise, o(i), i sayısının gelme olasılığı olsun:

o(1) = 1/6 = 0,16666
o(2) = 1/6
o(3) = 1/6
o(4) = 1/6
o(5) = 1/6
o(6) = 1/6

Zar hilesiz olduğundan, o(7) = 0 da yazabilirdik Tüm olasılıkların toplamının 1 olduğunu gözden kaçırmamalıyız Günlük yaşamda olasılıklar 100 üzerine hesaplanır, ama matematikte en büyük olasılık 1’dir Günlük yaşamda kullanılan %75’in matematikçesi 3/4’tür
Hilesiz zarlarla çift sayı atma olasılığını bulacak oplursak, yani, 2, 4, 6 sayılarından birinin gelme olasılığını Her sayının gelme olasılığı 1/6 olduğundan, çift sayı gelme olasılığı:

o(2) + o(4) + o(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 dir
Ve elbet tek sayı gelme olasılığı da, çift sayı gelme olasılığı gibi, 1/2’dir Olasılık kuramcıları, yukardaki soruda karşımıza çıkan,

{1,2,3,4,5,6}
kümesine olaylar kümesi denir Örneğin, yek bir olaydır ve yek olayının (gerçekleşme) olasılığı 1/6’dır
Şimdi iki (hilesiz) zar atacağız İlk önce iki zarı birbirinden ayıralım: Zarlardan birine birinci zar, öbürüne ikinci zar diyelim Her iki zarın da altışar yüzü olduğundan, otuzaltı “olay” var:

1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6

1-2 ve 2-1 zarlarını (olaylarını) ayrı yazdık, yani iki ayrı olay olarak gösterdik Çünkü iki zarı birbirinden ayırıyoruz: Birinci zar 1' i, ikinci zar 2' yi gösteriyorsa, gelen zara 1-2 diyoruz; tam tersiyse 2-1 Zarlar hilesiz olduğundan her olayın olasılığı aynıdır Dolayısıyla, o(i-j) sayısı, i-j olayının (zarının) olasılığıysa,

o(i-j) = 1/36
dır Örneğin,

o(1-1) = o(1-2) = o(2-1) = o(3-4) = 1/36
Bunu şöyle de gösterebiliriz: Yukardaki tabloya rastgele bir taş atalım 36 hücre olduğundan ve bir hücrenin öbür hücreye göre bir özelliği olmadığından, taşın, örneğin 3-4 hücresine düşme olasılığı 1/36’dır
Ancak tavlada zarlar aynı olduğu için birbirinden ayırt edilmez ve biz de o zaman 1-2 ve 2-1 olaylarını bir olay olarak algılayıp (1,2) olarak gösterelim Olayları yukardaki gibi sıralayalım (üstteki tabloyu ikiye katlayarak):

(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)

(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)


(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)



(4,4)
(4,5)
(4,6)




(5,5)
(5,6)





(6,6)

Toplam 21 olay vardır Ama bu kez her olayın olasılığı aynı değil Örneğin (1,2) olayının olasılığı 1/36 + 1/36 = 2/36, çünkü (1,2) zarı için ya 1-2 ya da 2-1 gerekli (1,2) olayının olasılığı şöyle bulunur: o(1,2) = o(1-2) + o(2-1) = 1/36 + 1/36 = 2/36 Öte yandan, (1,1) zarının gelme olasılığı 1/36’dır Demek ki, eğer i¹ j ise, o(i,j) = 2/36’dır ve o(i,i) = 1/36’dır (Özellikle 2/36 yerine 1/18 yazmıyoruz, ilerde kolaylık olacak)


Alıştırmalar:

1 İki kapıya gele atma olasılığı Bu kapıların 1 ve 2 kapıları olduğunu varsayalım Demek ki (1,1), (1,2) ya da (2,2) atma olasılığını hesaplayacağız Bu da,

o(1,1) + o(1,2) + o(2,2) = 1/36 + 2/36 + 1/36 = 4/36 = 1/9
dur İki kez iki kapıya gele atma olasılığıysa 1/9 ´1/9 = 1/81’dir Yedi kez iki kapıya gele atma olasılığıysa (1/9)7 = 1/97 dir (Aşağı yukarı, piyangoda en büyük ikramiye çıkma olasılığına eşit!)

2Yek atma olasılığı = o(1,1) + o(1,2) + + o(1,6) = 1/36 + (5 ´ 2/36) = 11/36 Demek ki, yek atma olasılığı 1/3’ten biraz daha az

3 Cehar atma olasılığı Yukardaki gibi hesaplanır ve 11/36 bulunur

4 Dört hane ilerdeki bir pulu kırma olasılığı Dört hane ilerdeki bir pulu kırma olasılığını hesaplayacağız Dört hane ilerdeki pulu kırmak için ya cehar (4) atmak gerekir ya da (1,1), (1,3) ve (2,2) zarlarından birini (arada kapı olmadığını varsayıyoruz) Demek ki dört hane ilerdeki bir pulu kırma olasılığı,
o(4) + o(1,1) + o(1,3) + o(2,2) = 11/36 + 1/36 + 2/36 + 1/36 = 15/36
dır

5 Altı ve sekiz hane ilerdeki iki puldan en az birini kırma olasılığı Altı hane ilerdeki pulu kırmak için ya zarlardan biri 6 gelmeli ya da (1,5), (2,2), (2,4), (3,3) zarlarından birini atmalı Sekiz hane ilerdeki pulu kırmak içinse (2,2), (2,6), (3,5), (4,4) zarlarından birini atmalı Dolayısıyla olasılık o(6) + o(1,5) + o(2,2) + o(2,4) + o(3,3) + o(2,6) + o(3,5) + o(4,4) = 11/36 + 2/36 + 1/36 + 2/36 + 2/36 + 1/36 + 2/36 + 1/36 = 22/36’dır, oldukça yüksek

6 n hane ilerdeki bir pulu kırma olasılığı Eğer n = 13 ya da 14 ise, bu olasılık sıfırdır elbet Ama n = 15 ise pulu dübeşle, yani (5,5)’le kırabiliriz Bunun da olasılığı 1/36’dır Okur bu olasılıkları şimdiye değin öğrendikleriyle hesaplayabilir Bu olasılıkları bir tabloda gösterelim:

n = uzaklık
Kırma olasılığı
1
11/36
2
12/36
3
14/36
4
15/36
5
15/36
6
17/36
7
6/36
8
6/36
9
5/36
10
3/36
11
2/36
12
3/36
15
1/36
16
1/36
18
1/36
20
1/36
24
1/36

örnek:Şimdi üç zar alalım elimize Yine ilk önce zarlardan herbirini öbürlerinden ayırt edelim: birinci zar, ikinci zar ve üçüncü zar 63 = 216 olay var ve her olayın olasılığı aynı olduğundan, her zarın gelme olasılığı 1/216’dır Örneğin,
o(1-2-5) = o(1-5-2) = o(2-1-5) = o(2-5-1) = o(5-1-2) = o(5-2-1) = 1/216
dır Ancak zarları birbirinden ayırt etmemek en doğal olanı Biz de o şekilde kabul edersek: Olay sayımız azaldı, çünkü şimdi, örneğin 1-2-5 ve 5-1-2 olayları arasında bir ayrım yapmıyoruz Bu zara (1,2,5) adını verelim Kolayca görüleceği gibi,

o(1,2,5) = o(1-2-5) + o(1-5-2) + o(2-1-5) + o(2-5-1) +
o(5-1-2) + o(5-2-1) = 6/216 = 1/36
Bunun gibi, o(3,4,6) da 1/36’ya eşittir Ama

o(2,2,5) = o(2-2-5) + o(2-5-2) + o(5-2-2) = 3/216 = 1/72,
ve

o(2,2,2) = o(2-2-2) = 1/216
dır
Alıştırma olarak, üç zarla toplam 10 atma olasılığını hesaplayalım: o(1,3,6) + o(1,4,5) + o(2,2,6) + o(2,3,5) + o(2,4,4) + o(3,3,4) = 27/216 = 1/8 = 0,125

örnek: [0,1] aralığında rastgele ve sırayla iki sayı seçersek, ikinci sayının, birinci sayıdan büyük olma olasılığı kaçtır?

Birinci sayıya x adını verelim, ikinci sayıya y Rastgele (ama sırayla) iki sayı seçmek demek, [0,1] ´ [0,1], yani [0,1]2 karesinde rastgele bir (x,y) noktası seçmek demektir

Yukardaki şekilde [0,1]2 karesi üç olay bölgesine ayrılmış:

A12 = {(x,y) Î [0,1]2 : x < y }
A21 = {(x,y) Î [0,1]2 : x > y }
bölgeleri ve çaprazdaki çizgi, yani,

Ax=y = {(x,x): x Î [0,1] }
çizgisi Şekilden de anlaşıldığı üzere, [0,1]2 karesindeki rastgele bir noktanın A12 bölgesinde olma olasılığı 1/2’dir A21 bölgesinde olma olasılığı da 1/2’dir Ax=y bölgesinde olma olasılığıysa sıfırdır

örnek: [0,1] aralığından üç sayı seçelim: x, y, z Birinci sayı x, ikinci sayı y ve üçüncü sayı z Şimdi, x < y < z olayının gerçekleşme olasılığı kaçtır? [0,1]3

[0,1]3 küpünü şu bölgelere ayıralım:

A123 = {(x, y, z): x < y < z }
A132 = {(x, y, z): x < z < y }
A213 = {(x, y, z): y < x < z }
A231 = {(x, y, z): y < z < x }
A312 = {(x, y, z): z < x < y }
A321 = {(x, y, z): z < y < x }
Birinci bölgenin oylumunu (hacmini) bulmak istiyoruz Bu altı bölgenin oylumları birbirine eşittir (hiçbirinin oylumunun öbüründen büyük olması için bir neden yok) [0,1]3 küpünden geriye kalan bölgeler, yukardaki bölgelerin “duvarlarıdır” ve oylumları sıfırdır Demek ki, bu altı bölgenin oylumlarının toplamı [0,1]3 küpünün oylumuna, yani 1’e eşittir Ve bundan da her bölgenin oylumunun 1/6 olduğu çıkar [0,1] aralığından rastgele üç sayı seçersek, ikinci sayının birinci sayıdan ve üçüncü sayının ikinci sayıdan büyük olma olayının olasılığının 1/6 olduğunu bulduk
Şimdi [0,1] aralığından dört sayı seçtiğimizde, birinci sayının ikinci sayıdan, ikinci sayının üçüncü sayıdan ve üçüncü sayının dördüncü sayıdan küçük olma olayının olasılığını hesaplayacağız

A1234 = {(x1, x2, x3, x4) Î [0,1]4: x1 < x2 < x3 < x4}
kümesi olsun Bunun gibi, örneğin,

A3142 = {(x1, x2, x3, x4) Î[0,1]4 : x3 < x1 < x4 < x2 }
kümesini tanımlayalım Bu kümelerin hepsinin “oylumları” aynı Teker teker sıralayıp 24 tane olduğunu bulabiliriz kolaylıkla: A1234, A1243, A1324, A1342, Geriye kalan kümeler, bu kümelerin “duvarları” olduklarından oylumları sıfırdır Demek ki bulmak istediğimiz olasılık 1/24’dir

örnek:[0,1] aralığından n tane rastgele ve sırayla sayı seçiyoruz: x1, x2, , xn Bu dizinin artan bir dizi olma olasılığı, yani x1 < x2 < < xn olayının olasılığı kaçtır?



A1,2,,n = {(x1, x2, , xn) Î [0,1]n: x1 < x2 < < xn}
kümesinin oylumunu arıyoruz
örnek: Bu tür kümelerden kaç tane olduğunu bulmalıyız Başka bir deyişle 1,2, , n sayılarını kaç türlü dizebiliriz?

n! = 1 ´ 2 ´ ´ (n-1) ´ n
türlü dizebiliriz, çünkü bu n sayıyı n! türlü yanyana koyabiliriz Bundan da şu sonuç çıkar: [0,1] aralığından rastgele seçilen x1, , xn sayılarının artan bir dizi olma olasılığı 1/n! dir
Örneğin n = 2, 3, 4 ise daha önce hesapladığımız 1/2, 1/6, 1/24 olasılıklarını buluruz n = 5 için, 1/5! = 1/120 = 0,008333 olasılığını buluruz n = 6 içinse, 1/6! = 1/720 » 0,0014 olasılığını Dikkat edersek, n büyüdükçe olasılık azalıyor

örnek: Bir yılda 365 gün olduğunu varsayalım Toplulukta 366 kişi varsa, içlerinden en az ikisinin doğumgünü aynı güne rastama olasılığı nedir?

Toplulukta iki kişi varsa, bu iki kişinin aynı gün doğma olasılığı 1/365’tir Demek ki ayrı günlerde doğma olasılıkları, 364/365’tir

Eğer toplulukta üç kişi varsa, üçünün de ayrı ayrı doğumgünleri olma olasılığı,

´
dir Eğer toplulukta dört kişi varsa, dördünün de ayrı ayrı doğumgünleri olma olasılığı,

´´
dir Eğer toplulukta n kişi varsa, hepsinin ayrı ayrı doğumgünleri olma olasılığı,

´´´ ´
dir En az iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığıysa,

1 - ´´´ ´
Geniş bir örnek:

Kişi Sayısı
Olasılık
2
0,002739727
3
0,008204162
4
0,01635593
5
0,02713561
6
0,04046249
7
0,05623573
8
0,07433534
9
0,09462386
10
0,1169482
15
0,2529014
20
0,4114385
22
0,4756954
23
0,5072973
25
0,5686998
30
0,7063163
35
0,8143833
40
0,8912318
50
0,9703736
60
0,9941227
70
0,9991596
80
0,9999143
90
0,9999939
100
0,9999997
103
0,9999999

Görüldüğü gibi 23 kişilik bir toplulukta (örneğin küçük bir sınıfta) en az iki kişinin aynı gün doğmuş olması yüzde elliden daha büyük bir olasılıktır Elli kişilik bir sınıftaysa, yüzde 97 olasılıkla iki kişinin doğumgünü aynı güne rastlar

örnek: İki zar atalım Zarlar hilesiz olsun Bu iki zarın aynı sayı olma olasılığı 1/6’dır Eğer zar hileliyse, o zaman iki kez üstüste aynı zar atma olasılığı 1/6’dan daha büyüktür

örnek: zar çok hileliyse ve her atışta şeş geliyorsa;

a) iki zarın aynı olma olasılığı 1’dir (yani yüzde yüzdür)
b) zarda 1/2 (yüzde 50) olasılıkla 5, 1/2 olasılıkla 6 geliyorsa, o zaman iki zarın aynı olma olasılığı 1/4’tür savlarını kanıtlayalım

İkinci savı kanıtlayalım (Birinci savın kanıtı da aynıdır):

1 gelme olasılığına p1, 2 gelme olasılığına p2, , 6 gelme olasılığına p6 diyelim Bu 6 olasılığın toplamı 1’dir
Her iki zarın da yek gelme olasılığı p12’dir Her iki zarın da 2 gelme olasılığı p22’dir Her iki zarın da 6 gelme olasılığı p62’dir Dolayısıyla, her iki zarın da aynı sayı gelme olasılığı,

p12 + p22 + p32 + p42 + p52 + p62
dir Savımız, bu sayının en küçük değeri,

p1= p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
de aldığını söylüyor Bir başka deyişle, eğer p’lerden birinin değeri 1/6’dan değişikse, o zaman, p12 + p22 + p32 + p42 + p52 + p62 sayısının 1/6’dan daha büyük olduğunu söylüyor
Savımızı kanıtlayalım
p12 + p22 + p32 + p42 + p52 + p62 teriminde, p’ler arasında bir ayrıcalık yok Yani terim simetrik p’lerden ikisinin yerini değiştirirsek, yeni bir terim elde etmeyiz Dolayısıyla, bu terimi en küçük yapan p’lerden yalnızca bir tane varsa, o zaman p’ler birbirine eşit olmalı, yani (toplamları 1 olduğundan) herbiri 1/6 olmalı
Demek ki, p12 + p22 + p32 + p42 + p52 + p62 teriminin, en küçük değeri bir tek kez aldığını kanıtlamalıyız
Diyelim, p12 + p22 + p32 + p42 + p52 + p62 terimi en küçük değeri iki kez alıyor, bir kez

a1, a2, a3, a4, a5, a6
da, bir kez de,

b1, b2, b3, b4, b5, b6
da Yani, bu değere m dersek,

a12 + … + a62 = b12 … + b62 = m
eşitlikleri geçerli Şimdi, p12 + … + p62 teriminin,

,…,
de aldığı değerin m’den daha küçük olduğunu kanıtlayacağım Yani,

+ … + < m
eşitsizliğini kanıtlayacağım Sol taraftaki terimi hesaplayalım:

+ … + =

Kareleri açalım, a ve b’lerin karelerinin toplamı yerine m koyalım ve 2’yle sadeleştirelim Şu terimi elde ederiz

Bu terim m’den küçük müdür? Yani,

< m
eşitsizliği geçerli midir? Bu eşitsizliğin geçerli olması için,

a1b1+ … + a6b6 < m
eşitsizliği geçerli olmalıdır Bu son eşitsizliği kanıtlayalım Bu eşitsizliği kanıtladığımızda, savımız da kanıtlanmış olacak
a’lardan biri b’lerden birinden değişik olduğundan,

(a1-b1)2 + … + (a6-b6)2 > 0
eşitsizliği geçerlidir Bunu açarsak,

(a12-2a1b1+b12) + … + (a62-2a6b6+b62) > 0
buluruz Yani,

2m - (2a1b1+ … +2a6b6) > 0,
yani,

m - (a1b1+ … + a6b6) > 0,
yani,

m > a1b1+ … + a6b6 (olasılığın eşitsizliği)


örnek:10 sayıdan 4 sayıyı çekiyor Bu lotoda:

a) en az 3 tutturacağımızdan emin olmak için (4 sayılık) en az kaç kolon ve hangi kolonları oynamalıyız?

Çekilişin yapılacağı bu on sayı 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olsun
Örneğin en az 1 tutturmak için, iki kolon oynamak yeterlidir İşte kolonlar:

0123
4567

b) en az 2 tutturmak için en az kaç kolon oynamalıyız?

0123
4567
0489

örnek: 10 sayı arasından 4 sayı çekilen lotoda en az 3 tutturmak için en az kaç kolon oynamak gerekir?

18 kolon yetiyor İşte o 18 kolon:

1 0123
2 4567
3 0489
4 1589
5 2689
6 3789
7 0145
8 0167
9 0246
10 0257
11 0347
12 0356
13 1247
14 1256
15 1346
16 1357
17 2345
18 2367

Bu kolonları nasıl bulduğumuzu açıklayalım İlk iki kolon kesişmeyen (ayrık) iki tahminden ibaret:
1 0123
2 4567
Eğer 8 ve 9 sayıları (her ikisi birden) çekilmişse bu iki kolonla en az 3 tutturamayız 8 ve 9’un çekilen sayılar arasında olma olasılığını göz önünde tutup daha sonraki 4 kolonu ekledik:
3 0489
4 1589
5 2689
6 3789
Böylece 8 ve 9 çekildiğinde, en az 3 tutturmayı garantilemiş olduk
Eğer 8 ve 9’dan en az biri çekilmiş sayılar arasında değilse, ilk iki kolonun toplam sekiz sayısında çekilen sayılardan en az 3’ü var demektir Birinci kolonda 2, ikinci kolonda 1 tutturmuş olabiliriz Ya da birinci kolonda 3 tutturmuş olabiliriz Ya da her iki kolonda da 2 tutturabiliriz İlk iki kolonun sonuçları en kötü olasılıkla şöyle olabilir:
Birinci kolonda 1, ikinci kolonda 2
Birinci kolonda 2, ikinci kolonda 1
Birinci kolonda 2, ikinci kolonda 2
Bir başka deyişle, en kötü olasılıkla, kolonlardan birinde tam 2, diğerinde 1 ya da 2 tutturmuş olabiliriz

Birinci ve ikinci kolonun ikililerini yazalım:
Birinci kolonun ikilileri: 01, 02, 03, 12, 13, 23
İkinci kolonun ikilileri: 45, 46, 47, 56, 57, 67
Bu on iki çiftten birinin her iki sayısı da çekilen sayılar arasında olmalı Birinci kolonun ikilileriyle, ikinci kolonun ikililerini karıp, bu son şıkkımızda (ilk iki kolonun birinde 2, diğerinde en az 1 tutturduğumuz şıkta) en az 3 tutturacak kolonlar yaratacağız
Diyelim o çift birinci kolonda O zaman, aşağıdaki 12 kolonla en az 3 tutturabiliriz:
7 0145
8 0167
9 0246
10 0257
11 0347
12 0356
13 1247
14 1256
15 1346
16 1357
17 2345
18 2367

örnek: 1000 kişi 10 kolon loto oynadı Bu bin kişiden:

a) en az birinin büyük ikramiyeyi kazanma olasılığı kaçtır?
Bir kişinin kazanma olasılığı 10/13983816’dır Kazanmama olasılığı da 1 - 10/13983816’dır
İki kişinin kazanmama olasılığı (1 - 10/13983816)2’dir Üç kişinin kazanmama olasılığı (1 - 10/13983816)3’tür

b) bin kişiden hiçbirinin kazanmama olasılığı kaçtır?

(1 - 10/13983816)1000
dir

c) 1000 kişiden en az birinin kazanma olasılığı kaçtır?

1 - (1 - 10/13983816)1000

örnek: Bir milyon kişinin 10 kolon loto oynadığını varsayarsak, bir milyon kişiden en az birine büyük ikramiye çıkma olasılığı kaçtır?



1 - (1 - 10/13983816)1000000 (%51’dir aşağı yukarı)

örnek: Herbiri on kolon oynayan bir milyon kişiden yalnızca birine büyük ikramiye çıkma olasılı kaçtır?

Oyuncularımızı 1’den 1 milyona kadar sıralayalım Birinci oyuncunun büyük ikramiyeyi kazanma olasılığı, 10/13983816’dır Geri kalan 999999 oyuncudan hiçbirinin büyük ikramiyeyi kazanmama olasılığıysa,

(13983806/13983816)999999 olur


Dolayısıyla, yalnızca birinci oyuncunun büyük ikramiye kazanma olasılığı,
(10/13983816) ´ (13983806/13983816)999999 olur
örnek: Herbiri 10 kolon oynayan bir milyon kişiden yalnızca ikisine büyük ikramiye çıkma olasılı kaçtır?

Birinci ve ikinci oyuncuya büyük ikramiye çıkma olasılığı (10/13983816)2’dir Geri kalan 999998 kişiden hiçbirine büyük ikramiye çıkmama olasılığı,

(13983806/13983816)999998olur
Dolayısıyla, yalnızca birinci ve ikinci oyuncunun büyük ikramiye kazanma olasılığı,
(10/13983816)2 ´ (13983806/13983816)999998 olur
Bir milyon oyuncu arasından iki oyuncu seçebileceğimizden,
yalnızca iki oyuncunun büyük ikramiyeyi kazanma olasılığı´(10/13983816)2´13983806/13983816)999998 olur

Genel kuram şöyle: Eğer n oyuncu varsa ve her oyuncunun oyunu kazanma olasılığı p ise,
oyunu yalnızca m oyuncunun kazanma olasılığı ´ pm ( (1 - p)n-m

örnek: Önünüze bir dama tahtası alın En üstteki sol kareye bir tavla pulu koyun O pulla şu hamleleri yapabilirsiniz: pulu bir kare sağa, sola, aşağı ya da yukarı kaydırabilirsiniz Her kareden geçerek ve yalnızca bir kez geçerek pulu en alt sağ kareye götürebilir misiniz? Götürebilirseniz nasıl götürürsünüz, götüremezseniz neden götüremezsiniz?



Doğru yanıt “Hayır götüremem”dir Çünkü: dama tahtasında 64 kare vardır Her kareden bir kez geçmemiz gerektiğine göre 63 hamle yapabiliriz Yani 63 hamlede en üst sol kareden en alt sağ kareye gitmeliyiz Oysa bu iki kare beyaz Ve tek sayılık hamlede beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye gidilemez
Pulun hangi kareden hangi kareye gideceğinden çok önemli olan beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye gitmesidir Ve hamle sayısının 63 olmasından çok bir tek sayı olması önemlidir Çok daha genel bir sonuç: beyaz bir kareden gene beyaz bir kareye tek sayıda hamleyle gidemeyiz Oyunun çözümü bu genel sonucun özel bir hâlidir
__________________________________________________ __________________________________

OLASILIK

A TANIM
Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır

B OLASILIK TERİMLERİ
Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (vb) tesbit etme işlemine deney denir
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir
Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir
Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun

A Ç B = Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir

C OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun

P : K ® [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir

Ü 1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır
2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir
3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,
P(A È B) = P(A) + P(B) dir

Ü 1)
2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir
3) tümleyeni olmak üzere,

4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)
5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,(E = A È B È C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir

Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n dir
2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6ndir

D BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir
Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir
Ü A ve B bağımsız iki olay olsun A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :
P(A Ç B) = P(A) P(B) dir

E KOŞULLU OLASILIK
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir

Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,