Temel İstatistik Kavramları

2TEMEL KAVRAMLAR
21 DEGISKENLER
Degisken: Gözlemden gözleme degisik degerler alabilen objelere, özelliklere ya da durumlara "Degisken" denir
Nicel (Kantitatif) Degisken: Degisik derecelerde az ya da çok degerler alabilen degiskendir Yas, agirlik, zeka seviyesi, hava sicakligi, hiz, nüfus vb
Nitel (Kalitatif) Degisken: Bu degiskenler gözlemden gözleme farklilik gösterirler, ancak bu farklilik derece yönünden degil kalite ve çesit yönündendir Cinsiyet, medeni durum, göz rengi, din, milliyet vb
Süreksiz Degisken: Bu degiskenler miktar yönünden degisiklik yerine tür yönünden degisiklik gösterir Dolayisiyla bir obje ya da birey bir özellige sahiptir ya da degildir Cinsiyet, medeni durum gibi Birinin digerine göre daha çok veya az olmasi mümkün degildir Nitel degiskenlerin hemen hepsi süreksiz dgiskendir
Sürekli Degisken: Iki ayri ölçüm arasi kuramsal olarak sonsuz parçaya bölünebilir Yas, uzunluk ve agirlik gibi
22 ÖLÇME VE ÖLÇEKLER
Ölçme: Objelere ve ya bireylere, belirli bir özellige sahip olus dereclerini belitmek için, belirli kurallara uyarak sembolik degerler verme islemidir
Nominal (Siniflama): Rakamlar sadece verileri farkli gruplara ayirmada kullanilir Veriye verilen sayi o grubun adidir Örnegin, futbol takimindaki rakamlar, plaka isaretleri, cinsiyet 0,1 gibi
Ordinal (Siralama): Ölçme sonucunda verilen sayisal degerler büyükten küçüge siralanabilir Bir özellige sahip olus derecesidir Örnegin, yarisma 1'si 2'si 3'sü, birinci tercih, ikinci tercih vb
Bu iki ölçek türü ile elde edilmis verilere genellikle nonparamatrik teknikler uygulanir Ayrica parametrik test varsayimlari yerine getirilemiyorsa, hangi ölçekle toplanmis olursa olsun nonparamatrik teknikler tercih edilmelidir
Esit Aralikli: Sifir ile ifade edilen bir baslangiç noktasi olan, sifirin yoklugu göstermedigi kabul edilen ölçektir Örnegin, termometre ve likert ölçegi gibi
Oranli: Gerçek sifir degerine sahip ve sifir yoklugu ifade eden birbirinin kati olarak ifade edilebilen ölçek türüdür Metre, kg gibi


3TANIMLAYICI ISTATISTIK
Istatistikte kullanilan bazi parametreler ve simgeleri:
Örneklem Parametresi Evren ParametresiAritmetik ortalama X µStandart sapma SsVaryansS2s2Birey (Gözlem)sayisi n NKorelasyon r j
31 Yigisim Ölçüleri :
Aritmetik ortalama: Deneklerin aldiklari degerlerin toplanip denek sayisina bölünmesiyle elde edilen degerdir
Ortanca: Bir ölçek üzerinde orta noktanin yerini gösteren bu ölçü tüm degerleri ortadan ikiye bölen degerdir
Mod: Ölçümlerde en fazla tekrar edilen degere mod denir

32 Degisim (dagilim) Ölçüleri :
Ranj: En büyük ölçümle en küçük ölçüm arasindaki farktir
Standart sapma: Ölçümlerin ortalamadan olan farklarinin karelerinin ortalamasinin kareköküdür
Standart hata: Aritmetik ortalamada olusan hatanin belirlenmesi için bulunur
33 Verilerin Siniflandirilmasi
Bir isletmenin yaptigi üretim belirli bir zaman diliminde ölçülmüs ve asagidaki veriler elde edilmistir
11594110103921041141061001021009597113981019910393 10796113110108102114901001031141111059910298979391 99114108103100981011041101141131091081061151031111 09112104104102107106119105969496101101106107105113 112991 Dagilimdaki en büyük ve en küçük deger bulunur Örnegimizdeki en büyük deger 115, en küçük deger 90'dir
2 En büyük degerden en küçük deger çikarilarak dagilim araligi bulunur
Dagilim araligi = En büyük deger- En küçük deger Dagilim araligi= 115-90=25
3 Dagilim araligi bir kez 8'e bir kez 15'e bölünerek(sinif sayisinin en az 8, en çok 15 olmasini önerdigimiz için) sinif araligi saptanmaya çalisilir 25÷8=31, 25÷15=16'dir 16 ile 31 arasinda herhangi bir deger sinif araligi olarak seçilebilir Eger sinif araligini 3 olarak alirsak yaklasik 8-9 sinif elde ederiz, sinif araligini 2 alirsak sinif sayimiz 12-13 arasinda olur Burada sinif araligi 3 olarak alinmistir Siniflar su sekilde olur:
Siniflar
90-92
93-95
96-98
99-101
102-104
105-107
108-110
111-113
114-116
En küçük deger 90 oldugundan ilk sinifin alt siniri 90 ile baslatilmistir Tüm sinif sayimiz ise 9'dur Bütün degerler siniflamaya dahil edilmistir
Her Sinifa Düsen Frekans (Siklik)
Siniflar saptandiktan sonra her bir degerin hangi sinifa girecegine bakilir Örnegimizdeki ilk deger 115'dir Bu deger 114-116 sinifina girecegi için bu sinifin karsisina bir çizgi çizilir Sonra geri kalan degerler teker teker ait olduklari sinifin karsisina isaretlenir Buna "Çetereleme" denir Sonra çeteleler sayilir ve her sinifin karsisina yazilir Örnek dagilimimizin çetele ve sayi ile gösterilmesi söyledir:
Siniflar Çetele Frekans90-92/// 393-95 ///// 596-98 ///// /// 899-101 ///// ///// // 12102-104 ///// ///// //// 14105-107 ///// ///// / 11108-110 ///// //// 9111-113 ///// /// 8114-116 ///// 5Toplam 7534 Gruplanmamis veriler için örnek:"> 34 Gruplanmamis veriler için örnek:"> ">

34 Gruplanmamis veriler için örnek:
Bir isletmedeki yillik izinler gün olarak asagidaki gibidir 8,8,7,7,7,6,6,5,5,4,4,3 Buna göre;
a) Ortalama izin kaç gündür?
b) Bu grubun ortancasi kaçtir?
c) Mod'u kaçtir?
d) Ranj'i kaçtir?
e) Standart sapmasi kaçtir?
f) Standart hatasi kaçtir?
Çözüm:
a) 8+8+7+7+7+6+6+5+5+4+4+3=70 (äx)
x=äx/n ; x=70/12 = 58 = 6
b) Grubun ortancasi 6'dir c) Mod 7'dir d) Ranj=8-3= 5
e) Standart sapma: Ölçülerin ortalamadan olan farklari bulunur Farklarin karesi alinir ve toplanir Bulunan degerler formülde yerine konur
Degerler887 7 76655443Ortalamadan farki (x-x)2+2+1+1+1+ 0+ 0+(-1)+(-1)+(-2)+(-2)+(-3)Farkin Karesi (xo-x)2 4+4+1+1+1+0+0+1+1+4+4+9Toplam30Standart Sapma:

f) Standart hata:

35 Gruplanmis veriler için örnek:
Degerlerfrekans (f)toplam frekans (tf)orta nokta X0fX0X0-X(X0-X)290-9237591273-1316993-9557294470-1010096-9886797776-74999-10112591001200-416102-10414471031442-11105-1071133106116624108-110922109981525111-113813112896864114-1165511557511121Toplam757779549Yukaridaki degerlere göre; a)Aritmetik ortalamayi,b)Ortancayi, c) Standart sapmayi, d) Standart hatayi,
e) Mod ve f) ranji hesaplayiniz
Çözüm:
a) Aritmetik ortalama ;
b) Ortanca;
L : Ortancanin bulundugu araligin alt siniri
tfa : Ortancanin bulundugu araliga kadar toplam frekans
tb : Ortancanin bulundugu araligin frekansi
c) Standart sapma;
EvrenÖrneklem d) Standart hata;

e) Mod; gruplanmis verilerde en yüksek frekansin bulundugu araligin orta noktasidir Buna göre mod=103'tür
f) Ranj = En yüksek deger-en düsük deger Ranj=116-90=2
4 NORMAL DAGILIM

Normal dagilim Özellikleri:
1 Dagilim ortalamaya göre simetriktir %50'si sagda, %50'si soldadir
2 Egriyle X ekseni arasindaki toplam alan 1 birim karedir
3 Aritmetik ortalama, ortanca, tepe deger(mod) birbirine esittir
4 Ortalama ile + - 1 standart sapma arasi deneklerin %682'sini
Ortalama ile + - 2 standart sapma arasi deneklerin %9544'ünü
Ortalama ile + - 3 standart sapma arasi deneklerin %9974'ünü kapsar
5 HIPOTEZ
Bir durum hakkinda ileri sürülen varsayimlardir Önemlilik testleri bir hipotezi test etmek için yapilir Hipotez, istatistiksel olarak H0 farksizlik hipotezi ve H1 alternatif hipotez olmak üzere gösterilirler
Öncelikle H0 hipotezi belirlenir Bu hipotez farksizligi esas alir Iki ortalama arasinda fark yoktur Iki grup arasinda iliski yoktur gibi
H1 alternatif hipotez ise farklilik üzerine kurulur H1 hipotezi üç sekilde kurulabilir;
H1 = µ1¹µ2 farkliligi belirten bu hipotez çift yönlüdür
H1 = µ1>µ2 µ1'in µ2 den büyük oldugunu belirten bu hipotez tek yönlüdür Sag kuyruk testi ile test edilir
H1=µ1<µ2 µ1'in µ2 den küçük oldugunu belirten bu hipotez tek yönlüdür Sol kuyruk testi ile test edilir
Bir hipotez kabul veya ret edildiginde her zaman dogru sonuca varildigi ya da varilan kararin dogru oldugu söylenemez Burada iki tip hata ortaya çikabilir
Hipotez Kabul etme ReddetmeDogru Dogru karar I Tip hata (@)Yanlis II Tip hata (ß) Dogru kararAlfa (@) : Dogru bir hipotezin yanlislikla reddedilme olasiligidir">Dogru bir hipotezin yanlislikla reddedilme olasiligidir
Yanlis bir hipotezin yanlislikla kabul edilme olasiligidir">
Beta (ß) : Yanlis bir hipotezin yanlislikla kabul edilme olasiligidir
Hipotez: Burs alan ögrenciler almayanlardan daha basarilidir Hipotez dogru iken reddedilir ise @ birinci tip hata yapilir Hipotez yanlis kabul edilirse ß ikinci tip hata yapilir
6 HIPOTEZ TESTI
Örneklem istatistiklerinden yararlanmak suretiyle bir hipotezin geçerli olup olmadigini ortaya koyma islemine istatiksel hipotez testi denir
Parametrik: Ölçümle deger alinmis ve süreklilik gösteren ölçümlere denir Parametrik testlerde ortalama, varyans, oran gibi ölçüler kullanilir
Nonparametrik: Verileri sayma veya siralama seklinde alinmis degerlerdir Nonparametrik testler parametrik testlere göre daha zayiftirlar
Hipotez Test Etme Süreci;
1 Verinin ölçüm biçimi, gruptaki denek sayisi, gruplarin bagimli ya da bagimsiz olmasi ve varsayimlar dikkate alinarak uygun test seçilir
2 H0 ve H1 hipotezleri belirtilir
3 Test istatistigi hesaplanir
4 Yanilma düzeyi saptanir
5 Serbestlik derecesi bulunur (Her teste göre ayri ayri hesaplanir)
6 Tablolardan yanilma düzeyi ve serbestlik derecesindeki tablo degeri bulunur
7 Hesapla bulunan deger ile tablo degeri karsilastirilir
8 Karsilastirma sonucuna göre karara varilarak sonuç @ (anlamlilik) degeri ile birlikte belirtilir
Hipotez test ederken kullanilan hipotezler asagidaki gibi ifade edilir
H0 = µ1=µ2 H0 = µ1= µ2 H0 = µ1=µ2H1 = µ1 < µ2 H1= µ1¹ µ2 H1 = µ1>µ2I Sol Kuyruk IIÇift Kuyruk III Sag Kuyruk Sol kuyruk testinde (I hipotez grubu): Hesaplanan Z veya t degerleri tablo degerinden küçükse H0 ret H1 kabul, büyük ise H0 kabul H1 ret edilecektir
Çift yönlü testlerde (II hipotez grubu): Hesaplanan Z ve t degerleri tablo degerlerinden mutlak deger olarak büyükse H0 ret H1 kabul, küçük ise H0 kabul H1 ret edilir
Sag kuyruk testinde (III hipotez grubu): Hesaplanan Z veya t degeri, bunlarin teorik degerinden büyük ise H0 ret H1 kabul; küçük ise H0 kabul H1 ret edilecektir
Sol kuyruk testiÇift yönlüSag kuyruk Testi
Z' nin kritik degerleri önem düzeyine göre asagida verilmistirÖnem Derecesi(@)Sol Kuyruk Testi Sag Kuyruk Testi Çift Yönlü Test 010 -128 +128 ±165 005 -165 +165 ±196 001 -233 +233 ±258 Önem derecesi sosyal bilimlerde genellikle @ = 005 veya 001 olarak seçilmektedir
61 PARAMETRIK HIPOTEZ TESTLERI:
Parametrik Test Varsayimlari;
1 Örneklemin çekildigi evrenle ilgili 2 Örneklemle ilgilia- Normal dagilima sahip olmali a- Denekler evrenden rastgele seçilmelib- Varyanslar homojen olmali b- Denekler birbirinden bagimsizolarak seçilmeli
611Tek Ana Kütle Ortalamasi Hipotez Testi ( Bagimli gruplarda T Testi)
Bu analizde belirli bir önem derecesinde ana kütle aritmetik ortalamasinin belli bir degerden büyük, küçük veya farkli olup olmadigi test edilir
Örneklem sayisi n>30 ise test istatistigi Z olarak, nó30 ise t istatistigi hesaplanir Bu istatistiklerin formülleri söyledir:
Bu test uygulanarak, iddia edilen ana kütle ortalamasinin gerçek olup olmadigi ve örnegin bu ana kütleye ait olup olmadigi hakkinda da fikir verir
Bu testin serbestlik derecesi (n-1)'dir
ÖRNEK: Bir isletmenin yillik ortalama üretim miktari düzenli olarak kaydedilmis ve ortalamasi 500 olarak bulunmustur Bu yilki üretimi denetlemek isteyen yöneticiler üretimden 100 adet örneklem almis ve ortalamasini X=490, standart sapmasi S=40 olarak bulmustur %1 güven sinirina göre yillik üretim miktarlarinin ortalamasi 500 kabul edilebilir mi? Test ediniz
ÇÖZÜM: H0: µ1=µ2 ; H1: µ1¹µ2 ;n>30 oldugundan Z testi uygulanacaktir
Serbestlik derecesi n-1 =100-1=99 olarak bulunur
001 güven düzeyinde çift yönlü test kritik degeri=258
ZHesap< ZTablo; 25<258 oldugundan H0 kabul, H1 ret edilir
Sonuç: iki ortalama arasinda fark yoktur (z=25, p<01)
612 Tek Ana Kütle Orani Ile Ilgili Hipotez Testi
Ana kütlenin herhangi bir niteliginin belirli bir orandan büyük, küçük veya farkli olup olmadiginin test edilmesinde kullanilir
n>30 ise z istatistigi, n<30 ise t istatistigi hesaplanirBu istatistiklerin formulleri söyledir
ÖRNEK: Pazar payinin %40'ini elinde bulundurdugunu idda eden bir firma satislari ile ilgili yapilan ve 82 birimi kapsayan örneklemde sözkonusu orani %35 bulmustur %5 güven düzeyinde iddanin dogrulugunu tespit ediniz
ÇÖZÜM: H0 : p - P = 0 ; H1 : p - P ¹ 0 ; p=%35; P=%40; n=82; @=005
Serbestlik derecesi = n-1 = 82-1=81 olarak bulunur
005 güven düzeyinde çift yönlü test kritik degeri=196 dir
ZHesap< ZTablo; -092<196 oldugundan H0 kabul H1 ret edilir
Sonuç: iki oran arasinda fark yoktur (z=-092, p<05) Iddia geçerlidir
613 Iki Örnek Ortalamasinin Karsilastirilmasi (Bagimsiz gruplarda T testi)">
613 Iki Örnek Ortalamasinin Karsilastirilmasi (Bagimsiz gruplarda T testi)
Birbirinden bagimsiz iki örneklemin ortalamalari arasindaki farkin hangi yönde oldugu ve bu farkin önemli olup olmadigi test edilmesinde kullanilir
Örneklem büyüklügüne göre n>30 ise z, istatistigi n<30 ise t istatistigi hesaplanir Bu testte serbestlik derecesi (n1+n2 -2)'dir
ÖRNEK SORU: Bir isletmede iki vardiya seklinde üretim yapilmaktadir Birinci
grup 40 günlük çalisma sonunda ortalama 74 parça üretimde bulunmus ve standart sapmasi 8 olarak hesaplanmistir Ikinci grup ise 50 günlük çalisma sonunda ortalama 78 parça üreterek 7 standart sapma ile çalismislardir %5 güven sinirlarinda iki grubun ortalamalari farkli midir?
ÇÖZÜM: n1=40 ; X1=74; S1=8; n2=50; X2=78; S2=7; @=005
Hipotezler: H0 =X1-X2=0 ; H1 =X1-X2¹0
Serbestlik derecesi (n1+n2 -2) = 40+50-2 =88 olarak bulunur
005 güven düzeyinde çift yönlü test kritik degeri=196 dir
ZHesap> ZTablo; 249>196 oldugundan H0 reddedilir
Sonuç: iki ortalama arasinda fark vardir (z=-249, p<05)
614 Iki Örnek Oraninin Karsilastirilmasi:
Iki örnek için oranlar hesaplanmis ise; bu oranlar arasi fark ve bu farkin önemi test edilir Serbestlik derecesi (n1+n2 -2) seklinde hesaplanir
Hesaplama için n>30 ise z istatistigi, n<30 ise t istatistigi hesaplanirBu istatistiklerin formulleri söyledir:
Bu testte serbestlik derecesi (n1+n2 -2)'dir
ÖRNEK: Bir sampuan üreticisi, iki farkli sehirde 100'er kisilik gruplar üzerinde bir arastirma yaparak sampuan kullananlarin oranini belirlemistir Birinci sehirde %75; ikinci sehirde ise %65 olumlu yanit almislardir Iki sehirdeki kullanici oranlari arasinda fark olup olmadigini 005 güven düzeyinde test ediniz
ÇÖZÜM: P1=075; P2=065; n1=100; n2=100; @=005
Hipotezler: H0 : P1- P2 = 0 ; H1 : P1 - P2 ¹ 0 ;n=100 oldugundan z testi kullanilir
Serbestlik derecesi (n1+n2 -2) = 100+100-2 =198 olarak bulunur
005 güven düzeyinde çift yönlü test kritik degeri=196 dir
ZHesap> ZTablo; 222>196 oldugundan H0 reddedilir
Sonuç: iki oran arasinda fark yoktur (z=222, p<05)

615 Varyans Analizi ( F Testi )
Ikiden çok örnek kütle ortalamalarinin karsilastirilmasinda kullanilir
Bu yöntemle toplam degismeye katkida bulunan çesitli degisim kaynaklarinin degiskenler arasi etkilesimi ve deneysel hatalari incelenir
Varyans analizi tek yönlü ve çok yönlü olarak uygulanabilir Tek yönlü varyans analizi elle hesaplanabilir, ancak çok yönlü varyans analizi için bilgisayar kullanilmalidir Bu yöntemle ilgili asagidaki hususlara dikkat edilmelidir:
1 Gruplardaki bireyler birbirine benzer ve homojen olmalidir
2 Gruplar birbirinden bagimsiz olmalidir Bagimli gruba uygulanmaz
3 Veriler ölçümle belirlenmis sürekli karakter olmalidir
4 Gruplardaki denek sayisi(n) en az 20 olmalidir
5 Gruptaki denek sayilari birbirine esit veya yakin olmalidir
Bu sartlar saglanamadigi zaman nonparametrik karsiligi "Kruskal Wallis varyans analizi" uygulanmalidir
ÖRNEK: Isletmede bulunan üç esdeger makina üretimi asagidaki gibidir Bu üç makina arasinda fark var midir?
AB CToplam4 6 35 7 45 6 54 8 56 6 46 7 44 9 3 5 8 3 4 6 4 4 5 3 Sx47 6838153 (Sx)Sx2227476150853 (Sx2)nj 1010 1030 (Sn) I Kareler toplamlarinin bulunmasi:
GnKT:Genel Kareler Toplami

GAKT: Gruplar arasi kareler toplami

GiKT: Grup içi kareler toplami

Serbestlik Derecelerinin Bulunmasi:
Genel serbestlik derecesi: GnSD= n-1 =30-1=29
Gruplar arasi serbestlik derecesi: GASD=Grup sayisi-1=3-1=2
Grup içi serbestlik derecesi: GiSD= n-Grup sayisi=30-3=27
Kareler Ortalamasinin Bulunmasi:
Gruplar arasi kareler ortalamasi:

Grup içi kareler ortalamasi:

Varyasyon Kaynagi Tablosunun Hazirlanmasi:
Varyasyon KaynagiKareler ToplamiSerbestlik Derecesi Kareler OrtalamasiVKKT SD KO Gn 727 29 ---- GA 474 2 237 Gi 253 27 0937 Hipotezler: H0: Gruplar arasi fark yoktur H1: Gruplar arasinda fark vardir
Test istatistigi olarak F istatistigi kullanilir

Yanilma olasiligi (güven düzeyi)@ =005 seçilmistir
Varyans analizinde iki serbestlik derecesi kullanilir
Gruplar arasi serbestlik derecesi=2 Grup içi serbestlik derecesi=27
F tablo degeri bulunur F=335
Karsilastirma: FHesap=253 FTablo = 235 ; 253 > 235 oldugundan H0 red edilir
Sonuç: Gruplar arasinda fark vardir Üç makinenin üretimi arasinda anlamli bir fark bulunmustur Bundan sonra gruplar ikiser ikiser karsilastirilir Bu karsilastirmada t testi kullanilir Bu sekilde karsilastirilan ortalamalar siralanir ve önem denetimi yapilir
7 KORELASYON
Korelasyon analizinde iki veya daha çok sayida degisken arasinda bir iliski bulunup bulunmadigi, eger varsa bu iliskinin derecesi ve fonksiyonel sekli belirlenmeye çalisilir Örnegin reklamlarin satisi arttirdigi seklinde bir düsünce yaygindir Ancak satislarin artisi sadece reklamlar ile açiklanamaz Nüfus artisi, moda, fiyat rakiplerle rekabet satislari etkileyen diger nedenler olarak düsünülebilir Öyle ise reklamlar ile satis arasinda iliskinin olup olmadigi incelenmelidir
71 Dogrusal Korelasyon: Bir degiskenin degeri artarken diger degiskenin degeri düzenli artiyor veya eksiliyorsa iki degisken arasindaki iliski dogrusaldir Iliski grafik üzerinden de incelenebilir
Korelasyon=+1 Korelasyon=-1 Korelasyon=0 Dogrusal korelasyonun hesaplanmasinda Pearson Momentler Çarpimi korelasyonu kullanilir Bu formülün uygulanabilmesi için veriler en az aralikli ölçekle toplanmali ve süreklilik gösteren nicel bir degisken olmalidir

Korelasyon katsayisinin degeri -1 ile +1 arasinda degisir Sonucun +1 çikmasi iki degisken arasinda kuvvetli olumlu iliskinin bulundugunu, -1 ise kuvvetli olumsuz iliskinin bulundugunu gösterir Korelasyon katsayisi 0 'a yaklastikça iliskinin kuvveti zayiflar, sifir ise iki degisken arasinda iliskinin olmadigini gösterir
71 Korelasyon katsayisinin önem denetimi:
Hesaplanmis olan korelasyon katsayisinin tesadüfi mi yoksa gerçek bir iliskiyi mi gösterdiginin belirlenmesi için denetlenmesi gerekirDenetim için kurulan hipotezler H0 : j=0 ; H1 : j ¹ 0 seklinde belirlenir Test istatistigi su formüle göre hesaplanir,

r:Korelasyon katsayisini belirtir Serbestlik derecesi (n-2) dir
ÖRNEK: Asagida bir isletmede gün olarak kullanilan izin (X) ile performans puanlari (Y) verilmistir Bu iki degisken arasinda iliski var midir?
XYX2Y2XY114119614213416926312914436313916939211412 12211211441241216144485112512155414161965631391693 96123614472512251446010101001001009118112199114119 61481164121889108110090794981636123614472710491007 0Sx 96Sy 236Sx2 616Sy2 2824Sxy 1075Yukaridaki tabloda hesaplanan degerler formülde yerine kondugunda;

Elde edilen sonuca göre kullanilan izin miktari ile performans puanlari arasinda negatif yönlü kuvvetli iliski vardir Kullanilan izin miktari arttikça performans puanlari düsmektedir
Bulunan korelasyonun gerçekten önemli olup olmadigi incelenirse:
Hipotezler, H0 : j=0 ; H1 : j ¹ 0

Serbestlik derecesi (n-2)=20-2=18
005 güven düzeyinde çift yönlü test kritik degeri=21 dir
ZHesap> ZTablo; 48>21 oldugundan H0 reddedilir
Sonuç: Bulunan korelasyon önemlidir ve tesadüfi degildir(t=48, p<05