Fonksiyonlar

**Şengül Şirin** · 04-17-2009

Fonksiyonlar

A TANIM

A ¹ Æ ve B
¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı
verilmiş olsun A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez
ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir Fonksiyonlar
f ile gösterilir

“ x Î A ve
y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ®
f(x) = y biçiminde gösterilir

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)ç (d, 3)}

biçiminde de gösterilir

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır Fakat
her bağıntı fonksiyon olmayabilir

Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt
kümesidir

Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir

B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir

A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
2m n – nm dir

Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon
olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir Bu
doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı
kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur

B FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun

f : A ® IR

g : B ® IR

olmak üzere,

i) f ± g: A Ç B
® IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

ii) f g: A Ç B ® IR

(f g)(x) = f(x) g(x)

C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1 Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon
bire birdir

“ x1, x2
Î A için, f(x1) = f(x2)iken

x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir

Ü s(A) = m ve s(B) = n (n
³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2 Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon
denir

f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

Ü m! = m (m – 1) (m – 2) … 3
2 1 dir

3 İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir

Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde
eşlenmemiş eleman vardır

Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı

mm – m! dir

4 Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir

f : IR ® IR

f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur

Ü Birim fonksiyon genellikle I ile
gösterilir

5 Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir

Ü “x
Î A ve c Î B için

f : A ® B

f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur

Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir

6 Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur

Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy
eksenine göre simetriktir

Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine
göre simetriktir

D EŞİT FONKSİYON

f : A ® B

g : A ® B

“x Î A için
f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir

E PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

F TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1
de fonksiyondur

Ü Uygun koşullarda,
f(a) = b Û f
– 1(b) = a dır

Ü f : IR
® IR, f(x) = ax + b ise, f –
1(x) =

dır

Ü (f – 1) – 1
= f dir

Ü (f – 1(x)) – 1
¹ f(x) tir

Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y
= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir

Ü B Ì IR
olmak üzere,

G BİLEŞKE FONKSİYON

1 Tanım

f : A ® B

g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna
f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur

(gof)(x) = g[f(x)] tir

2 Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur

fog ¹ gof

Bazı fonksiyonlar için
fog= gof olabilir Fakat bu bileşke işleminin değişme
özelliği olmadığını değiştirmez

ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

iii)
foI = Iof = f

olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)
elemanıdır

iv)
fof – 1 = f – 1of = I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir

v)
(fog) – 1 = g – 1of – 1 dir

**Şengül Şirin** · 05-31-2009

FONKSİYON

A TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun

A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir

Fonksiyonlar f ile gösterilir

" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
biçiminde de gösterilir

* Her fonksiyon bir bağıntıdır

Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir

* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir

* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
I) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir

II) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir

III) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m

n – nm dir

* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir

Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur

B FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun

f : A ® IR

g : B ® IR

olmak üzere,
I) f ± g: A Ç B ® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
II) f

g: A Ç B ® IR
(f

g)(x) = f(x)

g(x)
III)

C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1 Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir

"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir

* s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2 Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir

* f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
m! = m

(m – 1)

(m – 2)

3

2

1 dir

3 İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir

* İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir

4 Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir

f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur

* Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir

5 Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir

* "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur

* s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir

6 Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur
* Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir

* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir

D EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir

E PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

biçiminde gösterilir

F TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur

* Uygun koşullarda, f(a) = b * f – 1(b) = a dır

* f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise,

*

* (f – 1) – 1 = f dir

* (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir

*> y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir

* B Ì IR olmak üzere,

f(x) = ax2 + bx + c ise,

* B Ì IR olmak üzere,

f(x) = ax2 + bx + c ise,

G BİLEŞKE FONKSİYON
1 Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur

(gof)(x) = g[f(x)] tir

2 Bileşke Fonksiyonun Özelikleri
I) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur

fog ¹ gof

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir

Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez

II) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

III) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır

IV) fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir

V) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir

**ysnkrks** · 06-09-2009

konular aynı olduğu için mesajlar birleştirilmişitir

teşekkürler

Fonksiyonlar

Fonksiyonlar

Fonksiyon

Fonksiyon

Cevap : Fonksiyonlar

Cevap : Fonksiyonlar

04-17-2009	#1
Şengül Şirin	Fonksiyonlar Fonksiyonlar A TANIM A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir Fonksiyonlar f ile gösterilir “ x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)ç (d, 3)} biçiminde de gösterilir Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m n – nm dir Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur B FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM f ve g birer fonksiyon olsun f : A ® IR g : B ® IR olmak üzere, i) f ± g: A Ç B ® IR (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) ii) f g: A Ç B ® IR (f g)(x) = f(x) g(x) C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1 Bire Bir Fonksiyon Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir “ x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı 2 Örten Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir f : A ® B f(A) = B ise, f örtendir Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı Ü m! = m (m – 1) (m – 2) … 3 2 1 dir 3 İçine Fonksiyon Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir 4 Birim (Etkisiz) Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir f : IR ® IR f(x) = x birim (etkisiz) fonksiyondur Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir 5 Sabit Fonksiyon Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir Ü “x Î A ve c Î B için f : A ® B f(x) = c fonksiyonu sabit fonksiyondur Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir 6 Çift ve Tek Fonksiyon f : IR ® IR f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir D EŞİT FONKSİYON f : A ® B g : A ® B “x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir E PERMÜTASYON FONKSİYONU f : A ® A olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A f = {(a, b), (b, c), (c, a)} fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup F TERS FONKSİYON f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır Ü (f – 1) – 1 = f dir Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir Ü B Ì IR olmak üzere, Ü B Ì IR olmak üzere, G BİLEŞKE FONKSİYON 1 Tanım f : A ® B g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur (gof)(x) = g[f(x)] tir 2 Bileşke Fonksiyonun Özellikleri i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur fog ¹ gof Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır fo(goh) = (fog)oh = fogoh iii) foI = Iof = f olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır iv) fof – 1 = f – 1of = I olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir

05-31-2009	#2
Şengül Şirin	Fonksiyon FONKSİYON A TANIM A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir Fonksiyonlar f ile gösterilir " x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} biçiminde de gösterilir * Her fonksiyon bir bağıntıdır Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir * Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir * s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, I) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir II) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir III) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m n – nm dir * Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur B FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM f ve g birer fonksiyon olsun f : A ® IR g : B ® IR olmak üzere, I) f ± g: A Ç B ® IR (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) II) f g: A Ç B ® IR (f g)(x) = f(x) g(x) III) C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1 Bire Bir Fonksiyon Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir "x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir * s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı 2 Örten Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir * f : A ® B f(A) = B ise, f örtendir * s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı m! = m (m – 1) (m – 2) 3 2 1 dir 3 İçine Fonksiyon Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir * İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır * s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir 4 Birim (Etkisiz) Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir f : IR ® IR f(x) = x birim (etkisiz) fonksiyondur * Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir 5 Sabit Fonksiyon Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir * "x Î A ve c Î B için f : A ® B f(x) = c fonksiyonu sabit fonksiyondur * s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir 6 Çift ve Tek Fonksiyon f : IR ® IR f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur * Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir * Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir D EŞİT FONKSİYON f : A ® B g : A ® B "x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir E PERMÜTASYON FONKSİYONU f : A ® A olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A f = {(a, b), (b, c), (c, a)} fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir F TERS FONKSİYON f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur * Uygun koşullarda, f(a) = b * f – 1(b) = a dır * f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, * * (f – 1) – 1 = f dir * (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir > y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir B Ì IR olmak üzere, f(x) = ax2 + bx + c ise, * B Ì IR olmak üzere, f(x) = ax2 + bx + c ise, G BİLEŞKE FONKSİYON 1 Tanım f : A ® B g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur (gof)(x) = g[f(x)] tir 2 Bileşke Fonksiyonun Özelikleri I) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur fog ¹ gof Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez II) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır fo(goh) = (fog)oh = fogoh III) foI = Iof = f olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır IV) fof – 1 = f – 1of = I olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir V) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır

06-09-2009	#3
ysnkrks	Cevap : Fonksiyonlar konular aynı olduğu için mesajlar birleştirilmişitirteşekkürler