Gerçel Sayılar

Gerçel Sayılar

Gerçel sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır Mesela



veya



eşitliklerinde olduğu gibi Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir

İrrasyonel Sayılara Örnekler

, , , π , /2 birer irrasyonel sayıdır İki irrasyonel sayının toplamı, çarpımı, yine bir irrasyonel sayı mıdır? Bu soruya veriilecek cavap "hayır" olacaktır İrrasyonel sayılar çok yoğundur Öyleki; irrasyonel sayılar sayı doğrusunu -hiç boşluk kalmayacak biçimde- kaplarlarŞu bir fikir verebilir: Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta irrasyonel sayı vardır

Bazı Yan Bilgiler:

• Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü rasyonel değildir
• Rasyonel sayılar kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel sayılar kümesi sayılamazdır
• İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye ayrılırlarforumsinsinet
• İrrasyonel sayıların varlığının ilk Yunan matematikçi Pisagor tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır
• Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun Bu durumda

nx > y özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır

Reel Sayıların Arşimet Özelliği

Önerme: x bir reel sayı olsun Bu durumda n>x olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır

İspat: Varsayalım ki tüm n eleman N için n≤x dir Bu durumda x, N için bir üst sınırdır Böylece N, R nin boş olmayan bir altkümesi olup üstten sınırlıdır ve en küçük üst sınır özelliğinden bir s supremuma (eküs'e) sahipti s-1< s olduğundan s-1 N için bir üst sınır olamaz bu yüzden s-1 den büyük olan N nin bir n elemanı var olmalıdır Ancak eğer n>s-1 ise n+1>s, dolayısıyla n+1 sayısı s den nbüyük olur Bu da s nin N nin supremumu olması ile çelişiri Bu da bizi varsayımımızın karşıtına götürür Yani n<=x olamaz