Polinomlar Çözümlü Sorular

Polinomlar Çözümlü Sorular
Örnek:
P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür

Örnek
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) = 8 dir

Örnek
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 322 + 42 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur
P(0) = 03 – 302 + 40 – 2 = - 2 bulunur
P(1) = 13 – 312 + 41 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır

Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım

Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur

Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım
P(1) = 214 + 513 – 312 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur

Örnek
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir

Örnek
A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım

Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur

Örnek
A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor
a) A(x) B(x)
b) B(x) C(x) çarpımlarını bulunuz

Çözüm
a) A(x) B(x) = (3x4 + 1) (x2 + x)
= 3x4 x2 + 3x4 x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) C(x) = (x2 + x) (x2 – x + 1)
= x2 x2 – x2 x + x2 1 + x x2 – x x + x 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur

Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-__________________
-3x3 – x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13

Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim

Çözüm
1 Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır
2 Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur
3 p katsayısı aşağıya aynen yazılır

4 a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır Ap + q olarak yazılır

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir
px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz

Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım

Bölümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bölümün Katsayıları Kalan

Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur

Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz

Çözüm
X – 2 = 0  x = 2 dir Bulacağımız kalan P(2) olacaktır Öyleyse, P(2) = 22 – 3 2 + 21 = 19 olur

Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm
P ( ) = - 4 + 1 = - 2 + 1 = olur

Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız(forumsinsinet)
P(x) = x2 x2 – x2 x + x2 + 7x – 1 olur
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur

Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2 dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1 derecedendir Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir Bölüm özdeşliği yazılırsa,
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) B(2) + ‘a +b  P(2) = 2a +b olur

-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur Buradan, K(x) = x + bulunur

Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz

Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır Burada, P(1) = 7 veriliyor Diğer taraftan kalan, en fazla 2 dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur Bölmenin özdeşliği yazılırsa;(forumsinsinet)
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) (1 – 1) B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur
bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur