Modüler Aritmetik Konu Anlatımı

Modüler Aritmetik Konu Anlatımı
A TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir

B İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim

1 Kapalılık Özelliği
" a, b Î A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine göre kapalıdır

2 Değişme Özelliği
" a, b Î A için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır

3 Birleşme Özelliği
" a, b, c Î A için aD (bD c) = (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme özelliği vardır

4 Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği
" x Î A için, xD e = e Dx = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir
e Î A ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir

5 Ters Eleman Özelliği
Dişleminin etkisiz elemanı e olsun
" a Î A için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir

b Î A ise,D xişlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir

• Birim elemanın tersi kendisine eşittir
• Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir

6 Dağılma Özelliği
" a, b, c Î A için,
a * (bD c) = (a * b)D(a* c) ise,
* işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır
(aD b) * c = (a * c)D(b * c) ise,
* işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma özelliği vardır
* işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa * işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır

7 Yutan Eleman Özelliği
" x Î A için, xDi y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir
y Î A ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir
Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildirforumsinsinet

C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun
Ü b * c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur Buna göre, b * c = a dır
Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi * işlemine göre kapalıdır
Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişme özelliği vardır
Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır
Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olurforumsinsinet Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir Bulunan yutan elemandır
D MATEMATİK SİSTEMLER
1 Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, * işlemi A da tanımlı olsun
(A, *) ikilisine matematik sistem denir
2 Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi* işlemine göre bir gruptur[*]A, * işlemine göre kapalıdır[*]A üzerinde * işleminin birleşme özelliği vardır[*]A üzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır[*]A üzerinde *işlemine göre her elemanın tersi vardır A üzerinde tanımlı * işleminin değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur


3 Halka

A ¹Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır[*](A, D) sistemi değişmeli gruptur[*]A kümesi*işlemine göre kapalıdır[*]*işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır Ü * işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır
Ü *işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir