Fonksiyon Konu Anlatımı

Fonksiyon
A TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir Fonksiyonlar f ile gösterilir
" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir



Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,[*]A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir[*]B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir[*]A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m n – nm dir Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur

B FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsunf : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,i) f ± g: A Ç B ® IR(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f g: A Ç B ® IR(f g)(x) = f(x) g(x)

C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1 Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir
" x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2 Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m (m – 1) (m – 2) 3 2 1 dir

3 İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
mm – m! dir

4 Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir

5 Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir
Ü "x Î A ve c Î B içinf : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir

6 Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir

D EŞİT FONKSİYONf : A ® B
g : A ® B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir

E PERMÜTASYON FONKSİYONUf : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denirforumsinsinet
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup



F TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur



Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır
Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır

Ü
Ü (f – 1) – 1 = f dir
Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir
Ü B Ì IR olmak üzere,


Ü B Ì IR olmak üzere,


G BİLEŞKE FONKSİYON
1 Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur
(gof)(x) = g[f(x)] tir

2 Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur
fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmezforumsinsinet
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardırfo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii) foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır
iv) fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir
v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir