Matematiğin Dili

En eski metinlerde bile görüldüğü gibi matematiği diğer bilim dallarından ayıran şey deneyle olan ilişkisidir Doğru çember sayı gibi somut bir nesneden hareket edildiği halde Deney hiçbir zaman ispat nedeni olarak kabul edilmez Başka bilim dallarının tersine matematikte 'deneyerekdoğrulayalım' denemez Bu anlayışa göre nesnenin durumu nedir? Nesne sadece tanımıyla vardır ve bu tanım nesne hakkındaki herşeyi açıklar Mesela bir çember ve bir elektron arasında büyük bir fark vardır Çember matematikçinin tanımladığı bir nesneden başka birşey değildir Beklenmedik hiç bir durum göstermez Elektronsa her yeni deneyde beklenmedik bir davranış biçimi ortaya koyabilir Böylece tanımın önemi anlaşılıyor Matematikte herşey 'ifade biçiminde' saklıdır XIXyy'da Eukleidesçi olmayan geometrilerin bulunması sonucunda sezgisel davranıştan kaçınılması gerektiği anlaşıldı ve eskiden beri var olan bu zorunluluk daha da güçlendi O zamandan başlayarak bilinen uygulamalardan esinlenerek eksiksiz ve kesin bir matematik dili oluşturma ve açıklama amaçlandı
Bu betimleme iki aşamada sağlanır İlk aşamada kurulan cümleler arasındaki ilişkiler incelenir: bu önermeler hesabıdır İkinci aşamada bu cümlelerin veya önermelerin nasıl kurulduğu belirtilir; bu da açık önermeler hesabıdır
Burada matematiksel düşünceye denk düşen 'doğru - yanlış' gibi iki değerli bir mantığın bakış açısı söz konusudur; bu konuda iki değişik inceleme yapılır; biri bileşik önermenin hangi koşullar altında doğru olduğunu doğruluk tablosu ile belirlemeyi amaçlar; diğeri kesin kurallarla kabul edilen veya daha önce ispat edilen formüllerden hareket ederek yeni önermeler elde etmeye çalışır Ve böylece 'tümdengelimi' kesin bir çerçeveye oturtur
Doğal dil yalnız bu iki öğeye indirgenemez Özellikle zarflar (belki kesinlikle) doğru düşünceyi dalgalandıran terimler içerir Bunlar matematikte dikkate alınmaz

MANTIK

Geleneksel olarak eski Yunanlı düşünür Aristoteles'in Organon adlı eseri mantık biliminin başlangıcı olarak kabul edilir Bu eserde çıkarsama modelleri kıyaslama (tasım) yöntemiyle sistematik biçimde açıklanır Matematikte önemli bir yeri olan diğer bir yönüyle felsefeye bağlı bu çok görünümlü bilim dalını tanımlamak oldukça zordur Matematikle ilgili yaklaşıma matematiksel mantık adı verilir Ancak matematiksel mantığın felsefi mantıkla ilişkisi hiçbir zaman kesilmemiştir Eukleides'ten bu yana matematikte sezginin rolünü mümkün olduğunca azaltan çıkarsamaya önem veren aksiyomlar ve tümdengelime dayanan bir model kabul edildi XIXyy'da Eukleidesçi olmayan geometrilerin bulunması sonucunda aksiyonların kesin bir biçimde ifade edilmeleri zorunlu hale geldi; bunun için de bir kanıtlamada söz konusu olan terimleri tanımlamak gerekiyordu Bunlar arasında yazım kuralları çeşitli doğru iddialar tümdengelimin işleyiş biçimi sayılabilir
Bu biçimsel matematik anlayışında gerçek kavr***** 'modeller kuramı' açısından yaklaşıldı; tümdengelim kavramı ise 'tümdengelimli sistemler kuramı' veya 'kanıtlama kuramı'na dayanılarak ele alındı Bu iki yaklaşım çağdaş matematiksel mantığın temel taşlarıdır
Yazımın somut bir savı olduğu kadar soyut bir gerçeği de belirtebileceğini göz önünde tutmak gerekir Mesela 2 + 3 = 3 + 2 eşitliğinin doğru olduğu kanıtlanabilir; ama sezgisel olarak aynı anlamı taşıdığı anlaşılan x + y = y + x formülünün doğru olduğu kanıtlanamaz; çünkü kanıtlamak için bütün sayılarla denemek gerekir! Bu tip ifadeler kullanılmasaydı matematik çok fakir hale gelirdi Aslında kurallar soyut formüllerin kanıtlanmasına olanak verse de bazen doğru veya yanlış olduğu bilinmeyen bir iddia ile karşılaşma tehlikesini tamamen yok etmez; belirsiz olarak nitelenen önermeler vardır ve mantığın özgün sonuçlarından biridir
Sorulan bir başka soru da şudur: bir kuramda seçilen aksiyomlardan hareketle uygulanan tümdengelimin bir çelişkiyle sonuçlanamayacağından önceden emin olunabilir mi? Yanıt olumluysa kuram tutarlıdır Bir aksiyomlar sistemi göz önüne alındığında bu sistemin tutarlı bir kuram sağladığı kanıtlanmalıdır Ne var ki bu kanıtlama için hangi kuramdan yararlanmak gerekir? Yanıt şaşırtıcıdır Ünlü 'Gödel Teoremi'ne (1931) göre aritmetiğin tutarlılığı aynı kuramda kanıtlanamaz; bunun için daha güçlü bir kuram gerekir
Yalancı paradoksu veya otoreferans Antikçağ'dan beri bilinen bu paradoksun ilk ifadesi şu şekilde yapılmıştır: bütün Giritliler yalancıdır; Epimenides de Giritlidir; 'ben yalan söylüyorum' diyor Epimenides doğruyu söylüyor mu? Hayır çünkü Giritli'dir; o halde yalancıdır Ama 'yalan söylüyorum' derken yalan söylüyorsa o zaman doğruyu söylüyor Bu durumda çelişki kaçınılmazdır Ortaçağ'da Fransız filozof Jean Buridan paradoksun daha basit bir şeklini verdi Şu cümleyi yazalım: "Burada yazılan cümle yanlıştır" Bu cümle doğru mudur? Yanlış olması koşuluyla evet! Ancak o halde doğruluk sorusuna engel var demektir
Bu paradoks günümüzde 'otoreferans' denen problemi ortaya koydu Jean Buridan'ın cümlesi kendisi hakkında bir yargı belirtiyor Ama otoreferansın zorunlu olarak çelişkiye yol açtığı zannedilmesinin: 'ben' dendiğinde dilde vardır; ama cümle kendi doğruluğu üzerinde bir yargı belirtiyorsa çelişkiye varılabilir Yalancı paradoksu; hem Russelş paradoksunun hem de Gödel teoremlerinin temelini oluşturur