Diskriminat

DİSKRİMİNANT


Diskriminat,cebirsel bir denklemin katsayılarından hesaplanan ve denklemin çözümlerine ilişkin bilgi veren sayıax2+bx+c=0 biçimindeki ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı b2 – 4ac”dirÜçüncü dereceden x3+xax2+bx+c=0 denkleminin diskriminantı ise a2b2+18abc-4b3-4a3c-27c2 biçimindedirKatsayıları gerçek sayı olan ikinci ya da üçüncü dereceden denklemlerde ,denklemin diskriminantı 0”dan büyükse yalnızca gerçek kökler, 0”a eşitse en az ikisi birbirine eşit yalnızca gerçek kökler ve 0”dan küçükse iki sanal kök vardırİkinci dereceden ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 genel ( konik) denkleminin diskriminantı,denklemin özelliğini ( elips,hiperbol ya da parabol ) tanımlar
Diferansiyel denklemlerin diskriminantları,çözüm kümelerine ilişkin bilgi veren cebirsel denklemler biçimindedir


Kaynak;AnaBritannica cilt 10 frmsinsinet için derlenmiştir

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir





Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır

İkinci derecede polinom

Gerçel katsayılı denklemin çözülmesi

İkinci derecede bir polinom denklem ele alalım ve denklemde a, b ve c üç gerçel sayılı katsayı olsun ve a değeri 0 dan değişik olsun
denklemi ve olsun Bu denklemin diskriminantı şöyle tanımlanan Δ (delta) sayısı ile ifade edilir:
Diskiriminant'ın bilinmesi bu ikinci derece polinomun çözülmesini sağlar:
a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır x1 ve x2 olarak ifade edilen bu iki kök şu formül kullanılarak bulunur:
b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır:
c) Δ < 0 yani Δ negatif ise, denklemin gerçel kökü yoktur yani denklemin çözümü bulunamaz
Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi

Ana madde: Kompleks katsayılı denklem kökü Eger a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir Kompleks sayılıların ise her zaman 2 tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ2) Δ'ya eşittir Buna göre
a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x1 eve x2, şu formülle bulunur:
b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök bulunur:

Kısaltılmış diskriminant

Bazan ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:
Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:
Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:
Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:
Çözüm için, yani iki kok x1 ve x2 bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :
b)İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:
ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:
Bu demktir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur
Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur

c) Son olarak örnek denklem şu olsun:
Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:
yani Δ negatifdir Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatorüdür Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:

İkinci boyutta kuadratik formlar

Ana madde: Kuadratik form



Eger kuadratik formun diskriminantı negatif ise, φ(x, y) = a ile tanımlanan R2 noktaları ensamblı bir hiperboldur Eğer a pozitif ise, mavi ile gösterilen eğriye benzer şekil alir Eğer a negatif ise ortaya çıkan eğri yeşil eğri benzeridir Eğer a sıfıra eşitse, hiperbol dejenere olur ve kırmızı eğri benzeri bir eğri oluşur


Gerçel sayılar seti üzerinde, iki değişkenli (x ve y) iki boyutlu φ kuadratik formu şu formülle ifade edilir:
Kuadratik form aynı zamanda bir matris ifade ile de gösterilebilir:
Bu matris şeklinde ifadenin determinantinin açılması, daha önce diskriminat için verilen ifadeye, yani -1/4(b2 - 4ac) ifadesine eşittir Bir geçen matris P kullanarak yapılan bir baz değişmesi bu determinatın değerinde değişme yapar Daha detaylı bir açıklama ile, yeni baz için değer eski baz ile P determinantının karesinin çarpımına eşittir ve determinantın işareti değişmeden aynı kalmaktadır Bu analizin incelenmesi daha ayrıntılı bir maddede yapılmaktadır
Bunun için iki boyutlu kuadratik formları için üç tane farklı tanımlama yapılmaktadır B bazında olan kuadratik formun dsiskriminantı, B bazındakı kuadratik forma bağlı olan matrisin determinatı olur Daha onceki hale benzer bir açıklama ve hesaplama ile kuadratik formun diskriminantının b2 - 4ac ifadesine esit olduğu tanımlanabilir Sonra, kuadratik formun determinantına bağlı tek değişmez gibi, diskriminant da +1, 0 veya -1 değerleri alabilen determinant işareti olarak tanımlanır
Diskriminant kuadratik formları üç tane değişik gruba ayırmaktadır İki boyutta, kanonik bazda determinatın değerinin diskrimantı tanımlaması yapıldıktan sonra, eğer verilmis bir a degeri icin diskriminantın işareti pozitif ise, φ(x, y) = a değişebilirinin (x, y) noktalarının Ea ensamblı bir elipse karşıttır veye ensambl boştur Eğer diskriminant sıfır ise, bu halde Ea bir parabol'a karşıt olur Eğer diskriminant negatif ise, Ea bir hiperbol olur Kuadratik formlar üç farklı şekilde konik seksiyon elde etmeye izin verir
Herhangi bir derecede polinom

Bir polinom için kök değerini diskriminant yardımı ile çıkarma yöntemi ikiden büyük polinomlar için generalize edilmemmıştır Fakat polinomun diskriminantı kavramı yine de kullanışlıdır Doğrusal cebir içinde bir endomorfizim minimal polinomunda çoklu köklerin mevcut bulunması endomorfizmin tabiatını değiştir Bu şekilde mevcudiyet diagonalleştirme operasyonu imkânsiz yapar Bu açıklama rasyonel sayılarai da içine aldığında, indirgenemiyen polinomların (yani faktorize edilemeyenler) çoklu köklerinin bulunmasi her türlü hal için imkânsizdir Bu hal tüm haller için gerçek değildir Galois teorisi içinde yapılan bu ayrım önemlidir ve sonuçlar konfigirasyona bağlı olarak değişik olabilir


Örnekler

• İkinci derece polinomlar için ve matris notasyonu kullanarak şu ifade ele geçirilir :

• Üçüncü derecede polinomları için genellikle bormalize edilmiş polinom, yani ana diagonal elemanlarının hepsi 1' e eşit olan matrix, kullanılır ve şu ifade ortaya çıkar:

Bundan şu formül çıkartılır [1] :
Bu ifade epey karmaşık görünmektedir; fakat bunun bir uygun nedeni vardır Geleneksel olarak bu karmaşık ifade kullanılırsa yapılan ikamelerle şu şeklide bir polinom elde edilebilir ve bunun diskriminanti gayet basittir:
Gerçel katsayılı 3uncu derece polinom denklemi halinde, eğer dışkırımınant kesinlikle negatif ise denklemin üç tane ayrı değerde gerçel çözümü bulunur; eğer determinant sıfır ise üç tane birbirine çakışışan tek bir gerçel değerde çözüm vardır ve eğer determinan kesinlikle pozitif ise tek bir gerçel çözüm nbulunupo diğer iki tane çözüm ise birbirlerine conjuge kompleks sayılardır

• Elips eğrileri iki değişkenli üçüncü derece polinomların özel bir şeklinden ortaya çıkarlar

Elipsin en basit bir halinde denklem şöyledir: Bunda katsayıları gerçel sayılardır Bu halde diskriminant şöyle tanımlanır:
Genel şekilde ifade

P dereceli polinom için genel diskriminant ifadesi şöyle tanımlanır:
ve bundan şu ortaya çıkar:



Diskriminant cebirsel tamsayılar halkası

Sayilar cebiri teorisi tanimi farkli gorunen bir diskriminant kavrami kullanir Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karsittir ve matamati halka A icin kullanilir Her diskriminantin her iki tanimi da birbiriyle cok yakin olarak baglidirlar
Eğer A halkasini (tumuyle relatiflerden olusan bir Z icin) Z[a] ile esit yapan bir cebirsel tamsayı a mevcutsa, a icin minimal polinom Z icindeki katsayilari aynen icerir A'nin polinomlara gore tanimlanmis anlami ile cebirsel sayı teorisine gore halkanin diskrimanti anlamı ile tamamne esittir