2. Dereceden Bilinmeyenli Denklemler

İkinci Dereceden Denklemler
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
TANIMLAR :
a, b, c  R ve a  0 olmak üzere ax2 + bx +c  0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir
Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir
Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir
Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir
UYARI

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İlk olarak ax2 + bx + c  0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz

ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz
1 3x2 – 5x  0 2 x2 – x – 6  0 3 2x2 + x – 1  0
ÇÖZÜMLER :
1 3x2 – 5x  0 2 x2  x  6  0 3 2x2  x  1  0
x (3x – 5)  0 (x  3) ( x  2)  0 (x  1) (2x  1)  0
x  0 V 3x – 5  0 x  3  0 V x  2  0 x  1  0 V 2x  1  0
x  x  3 x  2 x  1 x 
Ç  { 0, } Ç  {2,3} Ç  {1, }
ax2  bx  c  0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)
ax2  bx  c  0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

ax2  bx  c  a  a
(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı)




 a  0 ise

 

 



o halde x1 ve x2= elde edilir
Bu kökler gerçel sayı ise b2  4ac  0 olması gerekir


TANIM :

ax2 + bx  c  0 denkleminde b2  4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve  ile gösterilir

Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur

Bu kökler kısaca, biçiminde yazılır

İrdeleme: ax2  bx  c  0 denkleminde   b2  4ac iken
1   0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır

Bunlar x1  dır


UYARI
a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise   0 dır

2   0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir

Bunlar dır

  0 olduğundan (ax2  bx  c) ifadesi tamkare olur

3   0 ise denklemin gerçel kökü yoktur Denklemin R deki çözüm kümesi  dir
İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

ax2  bx  c  0 denkleminde b çift iken kullanılabilir b’  Bu durumda, ’  (b’)2  ac

x1

ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz

1 x2  3x  1  0 2 2x2  3x  10  0 3 x2  2

ÇÖZÜMLER :

1 x2  3x  1  0 2 2x2  3x  10  0
a  1, b  3, c  1 a  2, b   3, c 10
  (3)2  4(1) (1)  9  4  13   (3)2  4210  9  80  71
  0 olduğundan Ç   dir
x1,2 

Ç 


2 x2  2  3  0
a  1, b  2 , c  3

b’ 

’ 

x1,2 

Ç 


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

A) ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

P(x)Q(x)  0  P(x)  0 V Q(x)  0


ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz
1 2x3  3x2  18x  27  0 2 3(x  4)2  48  0
ÖRNEKLER :
1 2x3  3x2  18x  27  0 2 3(x  4)2  48  0

x2 (2x  3)  9(2x  3)  0 3[(x  4)2  16]  0  (x  4)2  42  0
(2x  3) (x2  9)  0 (x  4)  4  0 V (x  4)  4  0
(2x  3) (x  3) (x  3)  0 x  8  0 x  0
2x  3  0 V x  3  0 V x  3  0 x  8
x   x  3 x  3 Ç  {0, 8}
Ç 

A) RASYONEL DENKLEMLER
 0  P(x)  0  Q(x)  0
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

(1) (2x  1) (x  4) (2x  1) (x  4)

27  4x2  2x  6x  24  2x2  7x  4
6x2  x  1  0  (2x  1) (3x  1) = 0
x  x  Ç 

B) YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER
(DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

ÖRNEK: x6  26x3  27  0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x3  t olsun x6  (x3)2  t2 olur

Buradan denklem
t2  26t  27  0 biçimine dönüşür
 (t  27) (t  1)  0
t  27  0 V t  1  0
t  27 t  1
x3  27 x3  1
x  3 x  1

Ç  {3,1}

C) KÖKLÜ DENKLEMLER

n  N+ ve P(x)  R[x] olmak üzere

1 ifadesi x  R için tanımlıdır
2 ifadesi, P(x)  0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1 Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır
2 Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır
3 Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur

ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
eşitliğinin sağlanması için,
x  6  0 ve x  4  0  x  4 olmalıdır

x  6 = x2  8x  16  x2  7x  10  0
(x  5) (x  2)  0  x  5 V x  2
 Ç  {2}

D) ÜSLÜ DENKLEMLER
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
dir
(x3) (x2)  0  x  3  0 V x  2  0
 x  3 x  2
Ç  {2, 3}
F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır Bunu şöyle açıklayabiliriz
n  N


ÖRNEK:
x2  |x| 2  0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x2  |x|  2  0
 x2  (x)  2  0
 x2  x  2  0
 (x  2) (x  1)  0
x  2 x  1
Ç1  {2}
x  0  |x|  x dir
 x2  x  2  0
(x  2) (x  1)  0
x  2 V x  1
Ç2  {2}
Denklemin çözüm kümesi ise Ç  Ç1  Ç2 dir Buradan Ç = {2, 2} bulunur
DENKLEM SİSTEMLERİ
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x  y  20  y  20  x, x y  64  x (20  x)  64
20x  x2  64  x2  20x  64  0
 (x  16) (x  4)  0, x1  16 V x2  4
 y1  20  16  y2  20  4
y1  4 y2  16
Ç  {(16, 4) , (4, 16)}
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

2x  3y  12 




Ç 

PAREMETRELİ DENKLEMLER
İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir
Örneğin; mx2  (m  1)x  2m  3  0 denklemindeki parametre m ; 2x2  (a  b)x  a b  0 denklemindeki parametreler a ve b dir
ÖRNEK:
(m  3)x2  2mx  3(m  1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (1) ise m kaçtır?
ÇÖZÜM:
(m  3)x2  2mx  3(m  1)  0
x  1 için (m  3) (1)2  2m(1)  3(m  1)  0
m  3  2m  3m  3  0
6m  6  m  1
ÖRNEK:
mx2  2(m  1)x  m  5  0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM:
x1  x2 ise   0 olmalıdır
 (b’)2  ac  0  [  (m  1)]2  m(m  5)  0
m2  2m  1  m2  5m  0  m 

UYARI
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur

ÖRNEK:
denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM:
1 YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır
3 / 2x2  (n  1)x  m  6  0
2 / 3x2  2x  2m  1  0

3(n 1)  4 ve 3m  18  4m  2
7m  20
m 

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2  bx  c  0 denkleminin diskriminantı   b2  4ac ve kökleri ve idi
Buna göre ;
1 Köklerin toplamı :
2 Köklerin çarpımı :
3 Köklerin farkı :
4 Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
5 Köklerin karelerinin toplamı :

6 Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :


7 Köklerin küplerinin toplamı :

8 Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :

UYARI
Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz

ÖRNEK:
2x2  4x  m  3  0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir
x12  x22  4 ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:
Denklemde a  2, b  4, c  m  3 dür
x12  x22  4  

16  4m  12  16
m  3
ÖRNEK:
2x2  7x –1  0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Denklemin kökleri x1, x2 olsun
İstenen bağıntı (x1  3) (x2  3) dür
Buna göre;
(x1  3) (x2  3)  x1x2  3x1  3x2  9
 x1 x2 3 (x1  x2)  9 
 olur
KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x  x1) (x  x2)  0 biçimindedir Bu denklem düzenlenirse, x2  (x1  x2) x  (x1 x2)  0 denklemi elde edilir
ÖRNEK:
Kökleri 3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
olduğundan denklem,
x2  (x1  x2) x  (x1 x2)  0  x2  (1) x  (6)  0
 x2  x  6  0 dır

ÖRNEK:
Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1  3  dir Bu denklem nedir?
ÇÖZÜM:
UYARI
a, b, c, p, q  Q olmak üzere ax2  bx  c  0 denkleminin bir kökü x1  p  ise x2  p  dur
Buna göre x1  3  ise x2  3  dür

dir
Denklem, x2  (x1  x2)x  (x1 x2) = 0
x2  6x  7 0 olur










ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
1 x2  x  |1x|  0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

x(x1)  (x1)  0
(x  1) (x  1) 0
x  1
Ç  {1}
2 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:

olsun

 t  3 V t  2

6x  3  x  3 x  3  4x  2


3 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir |x1  x2| nedir?
ÇÖZÜM:

x1 = 21 x2  5
|x1  x2|  |21  5|  16
4 3x  1  3x  2  3x  3  3x  4  768 denklemini sağlayan x değeri nedir?
ÇÖZÜM:

5 sistemini sağlayan y değeri nedir?
ÇÖZÜM:

x  y  z  19  (x  z)2  (19  y)2
x2 z2  2xz  361  38y  y2
133  y2  2y2  361  38y  y2
38y  228  y  6
6 Köklerinden birisi  2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
ise
x2  2  dir

 4  3  1
Denklem,
x2(x1  x2)x  (x1 x2)  0
 x2  (4)x  1  0
 x2  4x 1  0 olur

7 mx2  2(m  2)x  m  3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir x1  x2  s ve x1 x2  p olmak üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?
ÇÖZÜM:
mx2  2(m  2)x  m  3 = 0

bulunur

8 3x2  mx  6  0 denkleminde bağıntısı varsa m kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bu denklemde,
4  x1x2  8x1  4  (2)  8x1  x1 
x1 x2  -2  x2  2  x2  8
x1  x2 


9 6x2  11mx  10m2  0 ise nedir?

ÇÖZÜM:

2x 5m
3x 2m
(2x  5m) (3x  2m)  0 ise



10 2x2  x  m  2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında bağıntısı varsa, m tam sayısı nedir?
ÇÖZÜM:

1  4m  8  5m2  20m  20
5m2  24m  27  0
(5m  9) (m  3)  0