![]() |
Kümeler |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() KümelerKÜMELER Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir ![]() ![]() Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız ![]() Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir ![]() Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir ![]() ![]() Kümelerin Gösterimi 1 ![]() Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir ![]() ![]() Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c } 2 ![]() Bir kümenin özelliklerini belirterek yazma yöntemidir ![]() ![]() ![]() Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim ![]() A = { 1 , 2 , 3 , 6 } 3 ![]() Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir ![]() Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım ![]() | x – 2 | £ 1 A -1 £ x – 2 £ 1 £ x £ 3 A={ 1 , 2 3 } SONLU ve SONSUZ KÜMELER: Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir ![]() Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir ![]() A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu ![]() ![]() Hatırlatma Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir ![]() N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … } Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir ![]() Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … } Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir ![]() Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 } Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir ![]() BOŞ KÜME: Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir ![]() ![]() Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir ![]() ![]() UYARI: { f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir ![]() { 0 } kümesi boş küme değildir ![]() Boş küme bir tanedir ![]() EŞİT KÜMELER: Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir ![]() ![]() Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a } A = B ‘ dir DENK KÜMELER: Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir ![]() Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir ![]() UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez ![]() ALT KÜME: Bir “A” kümesinde bulunan B Her eleman aynı zamanda “B” kü- mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A kümesinin alt kümesidir denir ve “A Ì B “ ifadesi ile gösterilir ![]() “A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada “B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur ![]() "x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir ![]() A Ì B Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise A Ì B ‘dir ![]() Alt Kümenin Özellikleri: Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır ![]() ![]() Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır ![]() ![]() A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) &THORN; A Ì C ‘dir ![]() (A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir ![]() ÖZALT KÜME: Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir ![]() Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir ![]() KUVVET KÜMESİ: Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir ![]() Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır ![]() ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI: Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir ![]() Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir ![]() S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir ![]() ![]() N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI: N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı ( ) = ‘dir ![]() ![]() Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım ![]() KÜMELERDE İŞLEMLER 1 ![]() Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir ![]() ![]() A B B A B A A È B A È B A È B Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur ![]() Birleşim Özellikleri Tek kuvvet özelliği: Her A kümesi için A È A = A ‘dır Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir ![]() Değişme özelliği: Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir ![]() Birleşme özelliği: Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir ![]() s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir ![]() 2 ![]() Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir ![]() ![]() A B A Ç B Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise A Ç B = { 1 , b } ‘ dir ![]() Kesişim İşleminin Özellikler: Tek kuvvet özelliği: Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır ![]() Değişme özelliği: Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır ![]() Birleşme özelliği: (A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir ![]() 3 ![]() Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir ![]() Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir ![]() 4 ![]() a ![]() Her A , B ve C elemanları için A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } ( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 ,4 } { 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C ) b ![]() Her A , B ve C kümeleri için A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir ![]() Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e } = { c } ( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F = { c } { c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) 5 ![]() A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir ![]() Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise s( A È B ) = 5 + 10 – 2 = 13 6 ![]() Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir ![]() E A B C A Ì E , B Ì E , C Ì E Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir ![]() 7 ![]() Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir ![]() E A¢ A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir ![]() Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise A¢ = { d , e } ‘ dir ![]() Tümleme İşleminin Özellikleri: A Ç A¢ = F A È A¢ = E ( A¢ ) ¢ = A A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir ![]() ( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı) (A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı) s(A) + s(A) ¢ = s(E) E¢ = F F¢ = E 8 ![]() A ve B kümeleri için A B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir ![]() A B A B A Ç B B A Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise A B = { c } B A = { e , f } ‘ dir ![]() Fark Kümesinin Özellikleri: A ¹ B ise A B ¹ B A E A¢ = A A B = A Ç B¢ A Ç B = F ise A B = A 9 ![]() A ve B kümeleri için A D B = ( A B ) È ( B A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir ![]() Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir ![]() Açık Önermeler ve Niceliyiciler: Açık Önerme: Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir ![]() Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur ![]() ![]() ![]() ![]() Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir ![]() Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk kümesini bulalım ![]() 3x+1 < 13 &THORN; 3x < 12 &THORN; x < 4 ‘ tür ![]() P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm kümesidir ![]() Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür ![]() Niceliyiciler: Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır ![]() ![]() ![]() Varlıksal Niceliyiciler: “Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denir ![]() ![]() ![]() Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 … gibi sayılar olduğundan doğrudur ![]() Evrensel Niceliyiciler: “Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denir ![]() ![]() Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır ![]() Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır ![]() değildir ![]() ![]() “" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu: Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır ![]() 1 ![]() [ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve [ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir ![]() 2 ![]() ![]() ["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir] Sembol Olumsuzu(Değili) "…………………………………$ $…………………………………" ³…………………………………< =…………………………………¹ £………………………………… ![]() |
![]() |
![]() |
|