Kümeler

KÜMELER

Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır
Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız
Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir
Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır

Kümelerin Gösterimi

1Liste Yöntemi:

Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidirKümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir

Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }

2Ortak Özellik Yöntemi:

Bir kümenin özelliklerini belirterek yazma yöntemidir Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x… koşulunu sağlar } = {x | x… koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir

Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim

A = { 1 , 2 , 3 , 6 }

3Şema Yöntemi (Venn Şeması)

Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir

Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım
| x – 2 | £ 1 A
-1 £ x – 2 £ 1
£ x £ 3
A={ 1 , 2 3 }


SONLU ve SONSUZ KÜMELER:

Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir

Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir

A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir

Hatırlatma
Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir
N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir
Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir
Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir


BOŞ KÜME:

Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir

Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur


UYARI:
{ f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir
{ 0 } kümesi boş küme değildir
Boş küme bir tanedir


EŞİT KÜMELER:

Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir

Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
A = B ‘ dir

DENK KÜMELER:

Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir

Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir


UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez


ALT KÜME:

Bir “A” kümesinde bulunan B
Her eleman aynı zamanda “B” kü-
mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
kümesinin alt kümesidir denir ve
“A Ì B “ ifadesi ile gösterilir
“A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
“B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur
"x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir
A Ì B


Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
A Ì B ‘dir

Alt Kümenin Özellikleri:
Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur
Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır )
A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) Þ A Ì C ‘dir
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir




ÖZALT KÜME:

Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir

Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir

KUVVET KÜMESİ:

Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir

Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır

ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI:

Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir

Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir
S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir

N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI:

N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı
( ) = ‘dir (yani n’in r’li kombinasyonu denir)

Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin
sayısını bulalım ( ) =



KÜMELERDE İŞLEMLER

1Kümelerin Bielişimi:
Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur

A B B A B

A



A È B A È B A È B


Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur

Birleşim Özellikleri
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A È A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir
Birleşme özelliği:
Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir
s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir

2Kümelerde Kesişim:
Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır


A B






A Ç B

Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
A Ç B = { 1 , b } ‘ dir





Kesişim İşleminin Özellikler:
Tek kuvvet özelliği:
Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır
Değişme özelliği:
Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır
Birleşme özelliği:
(A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir

3Ayrık Kümeler:
Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir

Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir

4Dağılma Özelliği:

a)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
Her A , B ve C elemanları için
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir


Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 , 4 }

( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
= { 1 , 2 , 3 ,4 }

{ 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )


b)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
Her A , B ve C kümeleri için
A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir

Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
= { c }
( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
= { c }

{ c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
5Birleşimin Eleman Sayısı:
A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir

Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
s( A È B ) = 5 + 10 – 2
= 13

6Evrensel Küme:
Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir


E
A
B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir



7Tümleme:
Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir

E


A¢




A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir

Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
A¢ = { d , e } ‘ dir

Tümleme İşleminin Özellikleri:
A Ç A¢ = F
A È A¢ = E
( A¢ ) ¢ = A
A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir
( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
(A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
s(A) + s(A) ¢ = s(E)
E¢ = F
F¢ = E

8Fark Kümesi:
A ve B kümeleri için A B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir

A B


A B A Ç B B A




Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
A B = { c } B A = { e , f } ‘ dir

Fark Kümesinin Özellikleri:
A ¹ B ise A B ¹ B A
E A¢ = A
A B = A Ç B¢
A Ç B = F ise A B = A


9Simetrik Fark:
A ve B kümeleri için A D B = ( A B ) È ( B A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir

Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir

Açık Önermeler ve Niceliyiciler:

Açık Önerme:
Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir

Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur P(2) º 1 ‘dir P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur P(½) = 0 ‘dır

Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir

Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
kümesini bulalım
3x+1 < 13 Þ 3x < 12 Þ x < 4 ‘ tür
P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
kümesidir
Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür

Niceliyiciler:
Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır

Varlıksal Niceliyiciler:
“Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denirBazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır


Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
gibi sayılar olduğundan doğrudur

Evrensel Niceliyiciler:
“Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denirHer sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter
Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır

Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır Önermesi x=0 için doğru
değildir O halde önerme yanlıştır

“" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır
1 $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
[ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve

[ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir]


2 ["x Îr , x > -1] ‘dir önermesinin olumsuzu ["x Îr , x > -1]¢ ile gösterilir
["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir]


Sembol Olumsuzu(Değili)
"…………………………………$
$…………………………………"
³…………………………………<
=…………………………………¹
£…………………………………>