Özel Üçgenler Konu Anlatımı

Özel Üçgenler Konusu İle İlgili Bilgiler

Özel Üçgenlerin Gösterimi

Özel Üçgenlerin Formülleri


Özel Üçgenler Konu Anlatımı

DİK ÜÇGEN



Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denir Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır


şekilde, m(A) = 90°


[BC] kenarı hipotenüs


[AB] ve [AC] kenarları


dik kenarlardır




PİSAGOR BAĞINTISI




Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir


ABC üçgeninde m(A) = 90°

a2=b2+c2



ÖZEL DİK ÜÇGENLER




1 (3 - 4 - 5) Üçgeni


Kenar uzunlukları (3 - 4 - 5) sayıları veya bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgendir (6 - 8 - 10), (9 - 12 - 15), … gibi



2 (5 - 12 - 13) Üçgeni


Kenar uzunlukları (5 - 12 - 13) sayıları ve bunların katı olan bütün üçgenler dik üçgenlerdir (10 - 24 - 26), (15 - 36 - 39), … gibi


Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir

Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler dik üçgenlerdir


3 İkizkenar dik üçgen


ABC dik üçgen |AB| = |BC| = a |AC| = aÖ2


m(A) = m(C) = 45° İkizkenar dik üçgende


hipotenüs dik kenarların Ö2 katıdır



4 (30° – 60° – 90°) Üçgeni


ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde


ABH ve ACH (30° - 60° - 90°)


üçgenleri elde edilir


|AB| = |AC| = a

|BH| = |HC| =

pisagordan


(30° - 60° - 90°) dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar


hipotenüsün yarısına eşittir 60° nin karşısındaki kenar,


30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır


5 (30° - 30° - 120°) Üçgeni


(30° - 30° - 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur


6 (15° - 75° - 90°) Üçgeni


(15° - 75° - 90°) üçgeninde


hipotenüse ait yükseklik |AH| = h dersek, hipotenüs


|BC| = 4h olur Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört


katıdır



ÖKLİT BAĞINTILARI



Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır


1 Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir

h2 = pk

2

b2 = ka


c2 = pa


3 ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde


ah =bc


Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir


Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz




İKİZKENAR ÜÇGEN




İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır

1 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir


|AB| = |AC|


|BH| = |HC|


m(B) = m(C)


2 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir


|AB| = |AC|,


[AH] ^ [BC]


m(B) = m(C)


3 Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir


|AB| = |AC|


m(BAH) = m(HAC)


m(B) = m(C)


İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması birçok yerde karşımıza çıktığından çok iyi bilinmesi gereken bir özelliktir

4 İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşit olur

5 İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir

6 İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler

7 İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir



|AB| = |AC| Þ |LC| = |HP| + |KP|


8 İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir




EŞKENAR ÜÇGEN



1 Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir


nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc


2 Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik


Bu durumda eşkenar üçgenin alanı



yükseklik cinsinden alan değeri


Alan(ABC) =

3 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir


Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;



4 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir


Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde