Matematik Ve Sonsuzluk Nedir?

Sonsuzluk düşünce tarihinin en eski problemlerinden biridir İnsanlar ``varolan"ın ötesine geçip ``varolabilecek olan"ı düşünmeye başladıkları andan itibaren sonsuz kavramı insan düşüncesindeki yerini almıştır

Yüzyıllar boyunca metafizikte özellikle Tanrı'nın, uzayın ve zamanın doğası konu edildiğinde felsefeciler sonsuzluk hakkında giderek derinleşen yorumlar yapma fırsatı bulmuşlardır
Kavramın mantığın ve matematiğin ilgi alanına girmesi ise epey daha geç olmuştur Sonsuzluğun metafizikçilerin gözde konularından olmasının sebeplerinden biri doğru dürüst tanımlanmasında ve dolayısıyla anlaşılmasındaki güçlüktür Gene aynı sebeple sonsuzluk mantıkçıların ve matematikçilerin yakın zamana kadar kaçındıkları bir konu olmuştur Hatta 19 yüzyıla kadar matematikçiler ve bilimadamları arasında sonsuzluğun anlamlı bir kavram olup olmadığı konusunda kuşkular vardı Ancak 19 yüzyıldaki gelişmelerden sonra bu kavram matematiğin uğraş alanına girmiş ve bugün bunu anlamlı bir şekilde kullanmamızı sağlayacak bir temel kazanmıştır Bu yazının konusu da matematikte 19 yy sonu-20 yy başı görülen bu gelişmelerdir

Galileo Paradoksu

Bir en büyük sayı olmadığını herkes bilir Yani sayıların sonu yoktur Diğer bir değişle sonsuz tanedirler Bu durumda sonsuz kavramını ilk benimsemesi gerekenler matematikçiler olmalıyken neden uzun süre buna soğuk bakmışlardır? Bunun cevabını Galileo paradoksu denen örnekle görebiliriz Galileo her sayı ile onun iki katı arasında aşağıdaki gibi bire-bir eşleme yapılabileceğini gördü:

1,2,3,
,
n,

2,4,6,
,
2n,

Yani üst sıradaki her sayıya karşılık gelen bir çift sayı bulmak mümkün Diğer bir değişle iki sırada da aynı sayıda sayı var gibi görünüyor Oysa biliyoruz ki çift sayılar bütün sayıların sadece yarısıdır Şu halde ortada bir çelişki var Bu dizilerde ``sonsuz" tane sayı olduğunu söylemekten kaçınmak gerekir

Birazdan göreceğimiz gibi bazı kabuller yaparak görünürdeki bu çelişkiyi gidermek mümkün Ama örnek, sonsuzluğun matematikçiler arasında neden kabul gören bir kavram olmakta geciktiğini gösteriyor

Bolzano ve Dedekind'in Tanımları

Sonsuzluğu sağlam bir temele oturtabilmek için işe küme kavramıyla başlıyoruz İlk tanımımız şu: Eğer iki kümenin elemanları arasında bire-bir eşleme yapılabiliyorsa, yani birinci kümedeki herbir eleman diğer kümedekilerin bir ve yalnız biriyle eşleştirilebiliyorsa, bunlar eş kümelerdir

Buradan kardinal sayı kavramına şu tanımla geçiyoruz: Birbirine eş kümelerin oluşturduğu kümelerin herbirine bir kardinal sayı karşılık gelir Mesela , {küme, sayı, sonsuz}, vb kümeleri eş kümeler olarak bir üst küme meydana getirirler ve bu üst kümeye 3 kardinal sayısı karşılık gelir

Kardinal sayıları bu şekilde tanımlamanın avantajı, bizi sonsuz sayı diye birşey olup olmadığı konusunda önceden bir hüküm vermek zorunda bırakmamasıdır Sonsuz kümeler varsa sonsuz diye bir sayı da olacaktır Yani mesele sonsuz küme diye birşey olup olamayacağına indirgenmiştir

Bolzano sonsuz küme için şu basit görünüşlü tanımı yapar: Boş olmayan A kümesini ele alalım ve bu kümenin altkümelerinin bir dizisini oluşturalım Öyle ki dizideki herbir altküme kendisinden önce gelenin içindeki bütün elemanlardan, artı bir yeni elemandan oluşsun Bolzano'ya göre altkümelerini bu şekilde dizdiğimizde bir son altkümeye, yani içine artık yeni bir eleman koyamayacağımız bir altkümeye, ulaşıyorsak A kümesi sonludur Eger herbir altkümeden sonra bir diğerini oluşturmak mümkünse A kümesi sonsuzdur

Bu çarpıcı görünmeyen tanımın özelliği sonsuzluğu sayı kavramını kullanmadan tanımlamayı başarmasıdır Dedekind de benzer bir tanım yapar: Eğer bir kümenin öz altkümelerinden biri kendine eşse bu sonsuz bir kümedir Hiçbir altkümesi kendine eş olmayan kümeler ise sonludurlar

Bu tanımla Galileo paradoksundan da kurtulmuş oluyoruz Paradoks şu dört önermenin hepsinin birden kabul edilmesine dayanıyordu:

1 Bir küme bütün öz altkümelerinden daha çok sayıda elemana sahiptir
2 Doğal sayılar kümesinden çift sayılar kümesine bire-bir eşleme yapmak mümkündür
3 Bire-bir eşleme yapılabilen kümeler eşit sayıda elemana sahiptir
4 Her kümeye sadece bir kardinal sayı karşılık gelir

Dedekind yaptığı tanımla birinci önermenin sadece sonlu kümeler için doğru olduğunu kabul etmiş olur Sonsuz kümeler sözkonusu olduğunda ise bir küme diğerini öz altkümesi olarak kapsadığı halde (doğal sayılar ve çift sayılar kümeleri gibi) onla aynı sayıda elemana sahip kabul edilmesinde bir sakınca yoktur

Cantor'un Sonluötesi Sayılar Teorisi

Yukarıdaki tanımlara göre doğal sayılar kümesi sonsuz bir kümedir Her kümeye ait bir kardinal sayının varolduğunu da kabul edersek doğal sayıların (ve ona eş her kümenin elemanlarının) sonsuz tane olduğunu söyleyebiliriz Cantor bu sayıyı en küçük sonluötesi sayı kabul ederek (alef sıfır) adını verdi ve sonlu sayılar üzerinde kullanılan birçok aritmetik işleminin bu sayıya da uygulanabileceğini gösterdi Mesela aşağıdakı eşitlikler doğruydu

Fakat,

Cantor bu ilginç sonucun ispatını da şöyle yaptı: sayısının n elemanlı bir kümenin altkümelerinin sayısı olduğunu biliyoruz Şu halde da elemanlı herhangi bir kümenin, mesela doğal sayılar kümesinin, altkümelerinin sayısını verir İspatlayacağımız şeyin yanlış olduğunu, yani olduğunu varsayalım Bu eşitlik, doğal sayılar kümesiyle onun altkümelerinin kümesi arasında bire-bir eşleme yapılabileceği anlamına gelir Yani her altküme bir doğal sayıyla eşleştirilebilir Bu doğal sayıların bazıları içlerinde bulundukları bir altkümeyle eşleştirilirken bazıları da kendilerini kapsamayan altkümelerle eşleştirilecektir Eşleştirildikleri altkümenin içinde bulunmayan doğal sayıların kümesine X diyelim X elbette ki gene doğal sayıların bir altkümesi olacaktır ve baştaki varsayımımıza göre bir doğal sayıyla eşleşmiş olacaktır Bu doğal sayıya da a diyelim a X'in içinde midir değil midir? İçinde olduğunu farzedelim O zaman X'in içine, eşleştirildiği altkümenin içinde bulunan bir sayı koymuş oluruz ki bu X'in tanımına aykırıdır İçinde olmadığını farzedelim O zaman a kendisini kapsamayan bir altkümeyle eşleştirilmiş olur ki bu durumda tanımı gereği X'in içine alınması gerekir Yani bir çelişkiyle karşılaşmış olduk Demek ki başta yaptığımız varsayım yanlıştı: ve birbirine eşit değildir en küçük sonluötesi sayı olduğuna göre daha büyüktür

Aynı ispatı kullanarak 'ın da 'dan daha büyük olduğunu gösterebiliriz Bu da 'dan daha büyük sonsuz sayıda sonluötesi sayı olduğu anlamına gelir

Hilbert'in Sonsuzluk Oteli

Vardığımız bu sonuçların bildiğimiz dünyaya nasıl uygulanabileceğini görmek için Hilbert'in Sonsuzluk Oteli adlı örneğine bakalım Buna göre, her katında bir oda olmak üzere sonsuz sayıda kattan oluşan bir otel vardır ve bu otelde sonsuz sayıda müşteri kalmaktadır Yani otel tamamen doludur

Otele yeni bir müşteri geldiğini farzedelim Bu müşteriye yer bulunabilir mi? Cantor'a göre bulunabilmesi gerekir, çünkü 'dır Bunun nasıl mümkün olduğu da kolayca görülebilir Otelde kalan her müşteri bir üst kata aktarılır Bir en üst kat olmadığı için bunda bir sorun çıkmaz Yeni müşteri de boşalan ilk kata yerleşir Sonlu sayıda her müşteri için aynı işlem tekrar tekrar yapılabileceğinden eşitliğinin de nasıl mümkün olduğunu görebiliriz

Peki yeni gelenlerin sayısı sonsuz olursa ne olur? Cantor'a göre bu durumda da yer bulunabilmesi gerekir İlk akla gelebilecek yollardan biri şudur: Oteldeki her müşteri çift sayılı katlara kaydırılır, yeni gelenler de tek sayılı katlara yerleştirilir Bu işlem her yeni gelen sonsuz müşteri kafilesi için tekrarlanabilir Diğer bir değişle, 'dır

Şimdi de farzedelim ki otele sonsuz kere sonsuz yeni müşteri geldi Yani sonsuz müşteri içeren sonsuz sayıda kafile Bunlara nasıl yer bulunabileceğini görebilmek için önce asal sayılarla ilgili iki özelliği gözönüne alalım:

1 Asal sayılar sonsuzdur
2 p ve q birbirinden farklı asal sayılar ise her n ve m doğal sayısı için ve farklı sayılardır

Bu durumda şöyle bir yöntem izleriz İlk gelen sonsuz kafiledeki müşteriler ilk asal sayı olan 2'nin üssü olan katlara yerleştirilir Üs olarak doğal sayıları kullandığımızdan hiçbir müşteri açıkta kalmaz İkinci kafiledeki müşteriler ikinci asal sayı olan 3'ün üssü olan katlara yerleştirilir İkinci kurala göre bu katlarla ilk kafilenin yerleştirildiği katlar arasında bir çakışma olmayacaktır Bu şekilde her yeni kafile bir sonraki asal sayının üssü olan katlara yerleştirilebilir Sonuçta sonsuz kere sonsuz sayıda müşteri sadece sonsuz odaya sahip otele yerleşmiş olur Bu işlemi tekrar tekrar yapmak mümkün olduğuna göre eşitliğinin nasıl mümkün olabileceğini de görmüş oluruz

Bu noktada akla, yeni gelen müşteri sayısı olduğunda bunların neden otele yerleştirilemeyeceği geliyor Yazının hacmini ve bunla ilgili zaten kapsamlı bir ispat verdiğimi gözönüne alarak bunun gösterilmesini de okuyucuya bırakıyorum

Fiili Sonsuz ve Potansiyel Sonsuz

Cantor sonluötesi sayılar teorisiyle sonsuzluğun çelişkilere yol açmadan matematiğin içine alınabileceğini gösterdi Ama bu, sonsuzluğa felsefi açıdan yapılan karşı çıkışların önünü kesmedi Bunların en temellerinden biri, ilk olarak Aristoteles tarafindan ortaya atılan ve sonradan Kant tarafından geliştirilen fiili sonsuz/potansiyel sonsuz ayrımıdır Buna göre sonsuzluğun ``fiilen" varolduğunu söylemek çelişkilidir; sonsuzluktan ancak potansiyel anlamda bahsedilebilir Mesela gece-gündüz dizisini düşünelim Her geceden sonra bir gündüz gelir, her gündüzden sonra da bir gece Bu sürecin ötesine geçemeyeceği bir sınır noktası yoktur, yani potansiyel olarak sonsuzdur Ama bu sonsuz dizi hiçbir zaman ``gerçekten" varolamaz: Geriye baktığımızda ``Sonsuz sayıda gece geçti" diyebileceğimiz bir zaman asla olmayacaktır

Ayrım sonsuzlugun sadece fiziksel dünyada varolamayacağını iddia etmekle de kalmaz Sayıların da sonsuz olduğunu söylemek doğru değildir, çünkü ne kadar sayarsak sayalım hiçbir zaman sonlu sayıların ötesine geçemeyiz Sayılar da ancak potansiyel anlamda sonsuzdur Cantor da, aslında potansiyel sonsuzlukla uğraştığı halde teorisini fiili sonsuzlukla ilgiliymiş gibi göstermeye çalışmakla suçlanmıştır

Yapılan ayrımın geçerli olduğu ve fiziksel dünyadaki hiçbir şeyin sonsuz olamayacağı kabul edilebilir Ama bu Cantor'un teorisini ve fiili sonsuzun varolduğunu reddetmek için bir sebep değildir Mesela hiçbir zaman sonsuz sayıda gece geçmeyecek olsa bile bahsi geçen gece-gündüz dizisinin ``gerçekten" sonsuz olduğunu söylemenin bir sakıncası yoktur Ortada bir çelişki olmadığı sürece sonsuzluğun gerçek olduğunu reddetmek kişisel felsefi tercihlerle ilgili bir sorundur

Cantor'un teorisindeki tek güçlük, sonsuzluğu çelişkilerden arındırılmış olarak kullandığının gösterilmesinin önündeki tek engel, teorinin dayandığı kümeler teorisinin karşılaştığı güçlüklerdir Gödel 1930'da yaptığı ispatla kümeler teorisinin çelişkisiz olduğunun ``sonlu" zamanda ispatlanamayacağını göstermiştir Ama bu sadece sonluötesi sayılar teorisiyle değil, matematiğin kendisiyle ilgili çok daha temel bir sorundur Sonluötesi sayılar teorisinin ``ancak" kümeler teorisi kadar sağlam olduğunu söyleyebilmek hiç de küçük bir başarı değildir

Mutlak Sonsuz

Konumuz sonsuz olduğuna göre son olarak bunun en nihai derecesini, yani mutlak sonsuzu ele alalım Bu daha spekülatif bir yazı olsaydı, üstünde çok söz söylenebilecek bir konu, hatta belki de söz söylenmeye değecek tek konu olurdu Ama yazının kapsamı gereği burada sadece bazı olumsuz sonuçlar çıkarmakla yetineceğim

Birbirinden farklı sonsuzlar olduğuna göre mutlak sonsuz da bunların en büyüğü olmalı Veya sonsuzluğu kümelere uygularsak, kendisinden daha büyüğü düşünülemeyecek bir küme Yani bütün kümelerin kümesi Ama bu kavrama biraz daha yakından bakarsak pek tutarlı olmadığını görüyoruz Nasıl doğal sayıların sonsuz olması bir en büyük doğal sayı olmadığı anlamına geliyorsa, sonsuzların da sonsuz olması bir en büyük sonsuz olmadığı anlamına gelir Bütün kümelerin kümesi de ilk bakışta göründüğü kadar basit bir kavram değil Tanımı gereği bu kümenin diğer daha küçük kümeler yanında kendisini de kapsaması gerekir Ama bunu söylediğimiz zaman bu kümenin dışında başka kümeler de olduğunu kabul ediyoruz ki bu bir çelişki Bundan kurtulmanın tek yolu bu kümenin içinde kendisinden başka hiçbir kümenin olmadığını varsaymak

Buradan felsefedeki Birlik/Çokluk tartışmasına geçilebilir Dünyadaki herşeyi birleştirecek tek bir prensip bulmak mümkün müdür, yoksa ``herşey" dediğimiz şeyler hiçbir zaman biraraya getirelemeyecek bir çokluk mudur? Yukarıda vardığımız sonuç bu soruya kesin bir cevap vermese de mümkün olan cevapları oldukça kısıtlıyor: Eğer başlangıçta birden çok şey olduğunu kabul edersek bunların hepsini biraraya getirmek mümkün değil: Çokluktan birliğe ulaşamayız Diğer taraftan ``herşey"in zaten bir tek şey olduğundan yola çıkarsak ortada bir biraraya getirme problemi kalmıyor: Varolan herşey zaten o şeydir Bu ikinci varsayım aslında matematiğin ve hatta neredeyse bildiğimiz herşeyin reddi anlamına geliyor Ama ``gerçek" gerçekten buysa bunu neden yapmayalım ki?