Diziler Ve Seriler Nedir? |
12-19-2012 | #1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Diziler Ve Seriler Nedir?ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER ARİTMETİK DİZİ A TANIM Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere N+ için, an+1 ? an = d olacak Î n "aritmetik dizi denir Diğer bir ifadeyle R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark Îşekilde bir d denir ÖRNEK (an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz Ortak farkını bulunuz an+1 ? an = (n+1+10)/5 ? (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir B GENEL TERİM Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir 5 a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d an = an ? 1 + d = a1 + (n ? 1)d dir Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n ? 1)d dir ÖRNEK İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir? a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n ? 1) d an = 8 + (n ? 1) 2 an = 2n + 6'dır C ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap ? ak dir p - k ÖRNEK 39 terimi 19 ve 45 terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 ? a39)/(45 ? 39) d = (22 ? 19)/6 d = ½' dir a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı : d = b ? a dır n + 1 ÖRNEK - 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b ? a)/(n+1) = [28 ? (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4 Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse, Sn = n [2a1 + (n ? 1)d] ya da 2 Sn = n (a1 + an) olur 2 Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k p iken, ap = ap ? k +ap + k dır 2 ÖRNEK 19 terimi 42 ve 33 terimi 88 olan aritmetik dizinin 26 terimi kaçtır? a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için, a26 = (a19+a33)/2 a26 = (42+88)/2 a26 = 65'tir GEOMETRİK DİZİ A TANIM Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir Diğer bir ifadeyle R varsa (an) dizisine Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î n " geometrik dizi, r sayısına ortak an çarpan veya ortak oran denir ÖRNEK (an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz Dizinin ortak çarpanını bulunuz (an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir B GENEL TERİM Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun Bu durumda, a1 = a1 a2 = ra1 a3 = ra2 = r2a1 a4 = ra3 = r3a1 Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn ? 1a1 veya an = rn ? pap dir ÖRNEK İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir? a1 = 4 ve r = ½ an = rn ? 1 a1 an = (1/2)n ? 1 4 an = 23 - n C GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp ? k = ap eşitliğinde bulunur ak ÖRNEK 2 terimi 3/5 ve 5 terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir? a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 ? 2 = a5/a2 r3 = 75/3/5 r3 = 125 r = 5 tir Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a11 ? rn olur 1 ? r ÖRNEK İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3 terimi nedir? a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 (1 ? r3)/(1 ? r) Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k p iken, ap = dır ÖRNEK 3 terimi 3 ve 5 terimi 6 olan geometrik dizinin 7 terimi nedir? a3 = ve a5 = (a3 a7)1/2 6 = (3 a7)1/2 36 = 3 a7 a7 = 12'dir SONUÇ: Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir ÖRNEK: Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n terimi y'dir Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y'ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn ? 1 y = x6n ? 1 6n = 6y/x Sn = a1(1 ? rn)/(1 ? r) = x (1 ? 6n)/(1 ? 6) = x (1 ? 6y/x)/(-5) = (6y ? x)/5 dir SERİLER A TANIM ? (an) reel terimli bir dizi olsun = a1+a2+a3+ +an + sonsuz toplamına seri denir ? an'e serinin genel terimi denir ? Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ +an toplamına serinin n kısmi toplamı denir ? (Sn) = (S1,,S2,,S3,,Sn,) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir ? a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn' dir b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır ? serisi yakınsak ise lim an = 0'dır Bu ifadenin tersi doğru değildirYani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir ise serisi ıraksaktır 0 ¹? lim an ÖRNEK 2n/5-n serisi veriliyor Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz an = 2n/5-n = 0 olduğuna göre seri ¹ dur lim an ¥2n5n = 10n dir lim an = lim 10n = ıraksaktır B ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER 1 Aritmetik Seriler (an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)'dir Aritmetik seri ıraksaktır 2 ÖRNEK (n ? 10)/20 serisi veriliyor Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz Serinin kısmi toplamını bulunuz Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz N+ için d = an +1 ? an =(n+1-10)/20 ? (n-10)/20 = Î n " 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir a1 = -9/20 ve an = (n ? 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n ?10)/20] ¥=n(n ? 19)/40 = olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır 2 Geometrik Seriler (an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a11-rn'dir 1-r a) |r| 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1'dir 1-r ise seri 1 ³b) |r| ıraksaktır ÖRNEK 31-n serisi veriliyor Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz |
|