Paradoks Örnekleri

1) İkiye Bölme Paradoksu: Bir yolcu, belirli bir uzaklığa gidecektir Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; sonra kalanının yarısını;yürümek zorundadır Bu durumda hiçbir zaman gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır

2) Euqlides Paradoksu: 'Yaptığım açıklama yanlıştır'

3) Avukat Paradoksu: Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir

Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir

Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır

Tersine davayı kayberse bu kez de davayı kaybettiği için hocasına yine ödeme yapmak zorunda kalacaktır

4) Epimenides Paradoksu: Epimenides Giritli idi Ve paradoksu şöyleydi; 'Bütün Giritliler yalancıdır'

5) Walt Kelley Paradoksu: 'Düşmanla karşılaştık ve o biziz'

6) Berber Paradoksu: Bu paradoks 1918'de çıkmıştır Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder Berberi kim traş edecek?

7) Oscar Wilde Paradoksu: 'Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir'

8) Don Kişot Paradoksu: Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır Günün birinde bir yolcu gelir ve 'Ben asılmak için buradayım' der Sanço ne yapmalı?

9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks: Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?

10) Russell Paradoksu: Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere 'düzenli' diyelim Örneğin, 'İnsanların kümesi'nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir Kendisini içeren kümeleri 'düzensiz' olarak adlandıralım Örneğin 'beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi' düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti IIcildin ek bölümü şöyle başlar: 'Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm'

DOĞRU PARÇASI PARADOKSU

Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru Pekiyi nokta nedir?

Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirtiMalûmdur ki noktanın boyutu yoktur O halde dikkat Paradoks başlıyor:
Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır Milyarlarca sırı toplasak 'yarım' dahi etmez O halde doğrunun tanımında bir hata var Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur

Noktayı boyutlu kabul edelim Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur

KARIŞIM PARADOKSU

Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?
Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır Veya:
İlk karışım homojen olsun Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur