Küp Problemi

İstatistik bilimi içinde küp problemi (İngilizce urn problem) bir idealize edilmiş düşünce denemesi olup pratik hayatta ilgilenilen nesneler (atomlar, kişiler, otomobiler vb) bir küp veya benzeri bir kap içinde bulunan renkli toplarla temsil edilmektedir Bir veya daha fazla sayıda topun küpten çıkartıp alındığı düşünülür; bu düşüncenin hedefi, belli bir renkte ve diğer özellikte olan topların küpten çıkarılma olasılığını incelemektir

Temel küp problemi

Bu olasılık kuramı kapsamında bulunan bu temel küp modelinde küpün sadece x sayıda beyaz ve y sayıda siyah top ihtiva ettiği düşünülür Bu küpten tek bir top rassal olarak çekilir ve rengi gözlenir Top tekrar küpe geri konulur ve bu seçim süreci tekrar ettirilir

Bu temel problem modelinin yanıt sağlayabileceği sorular şunlar olabilir:

n sayıda çekim ve gözlem yapılırsa beyaz ve siyah topların oranı hakkında bir hüküme varmak mümkün müdür? Verilen bu karar için itimat derecesi ne olacaktir?
x ve y bilindiğine gore belirli bir seri topu arka arkaya çekme (örnegin önce beyaz sonra siyah vb) olasılığı nedir?
Yapılan çekişlerde yalnızca beyaz toplar elde edilmekte ise acaba küpte hiç bir siyah top bulunmadığına nasıl emin olunabilinir?

Diğer modeller

Çok daha çeşitli küp problem şekilleri bulunabilir Bazıları

küpün içinde renkli toplar olacağına, üzerine numara yazılmış toplar bulunabilir;
küpün içinden birer birer çekilen top geriye konulmayabilir

Küp problemlerine örnekler

Binom dağılıminın matematiksel geliştirilemesi
Hipergeometrik dağılımının matematiksel geliştirilemesi
İstatistiksel fizik: enerji ve hız dağılımlarının türetilmesi
Ellsberg paradoksu
Pólya'nin küpü: Analize başlarken küpün içinde b sayıda beyaz ve s sayıda

siyah top bulunduğu düşünülsün Küpten rassal olarak bir top seçilip çekilsin Bu seçilip çekilen top (bir başka yerde saklanmakta olan) bir diğer top ile birlikte yine küp içine koyulsun Bu demektir ki küp içindeki top sayısı her bir çekişte büyümektedir Bu işlemin n defa tekrarlanması sonunda küp içinde bulunan beyaz top sayısı Xn olacaktır Yn=Xn olarak tarif edelim Bu halde {n=1, 2, 3, için yn } n değeri arttıkça beta dağılımına yaklaşacak ve şekli de özel bir stokastik süreç olan martingale olacaktır

Tarihsel görüş

1713 de Jakob Bernoulli tarafından Ars conjectandi adı verilmiş makalenin yayınlanmasından beri, küp problemleri olasılık kuramı içinde bir önemli yer kapsamaktadırlar Bernoulli'yi bu makeleyi yazmaya iten nedenler pratik hayatta gözlemini yaptığı ve bir kabtan rassal olarak topların çekilmesini içeren piyangolar, seçimler veya kumar yani şans oyunları olmuştu

Tarihçilerin yazdıklarına göre

Orta çağlarda ve rönesans devrinde Venedikte yapılan seçimlerde, Venedik Dukası seçimleri dahil, oy verecek seçmenlerin tayini çok kere bir küpten çekilen değişik renkte toplar kullanılması suretiyle yapılmaktaydı