Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar |
12-19-2012 | #1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
Polinomlarla İlgili Temel KavramlarPolinomlarla İlgili Temel Kavramlar Eğer Word Halinde İndirmek İstiyorsanız Ekte Dosyası mevcuttur Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar: a0, a1, a2, an-1, an R ve n N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n?inci dereceden bir polinom denir 1 an xn, an-1 xn-1, , ak xk, , ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir 2 an, an-1, , ak, , ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir 3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir 4 Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir 5 P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre, P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır 6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma ?Reel Katsayılı Polinom? denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R ile gösterilir Örnek: P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n N kaç olmalıdır? Çözüm: 5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3?ün bölenleri olmalıdır 3?ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 0 den n 2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır Buna göre, P(x) polinomu P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4 P(x) = 2x4 + x + 4 dür ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM P(x, y) = x3y2 ? 2x4 y3 + xy + x ? y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir Bu polinomların derecesi x ve y?nin dereceler toplamının en büyüğüdür der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y?nin dereceler toplamıdır Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir Örnek P(x, y) = 2x2y4 ? 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır? Çözüm: 2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6 -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8 x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5 -y5 teriminin derecesi 5 Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) = 8 dir Örnek P(x) = x3 ? 3x2 + 4x ? 2 ise P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ? Çözüm: P(2) = 23 ? 322 + 42 ? 2 = 8 ? 12 + 8 ? 2 = 2 bulunur P(0) = 03 ? 302 + 40 ? 2 = - 2 bulunur P(1) = 13 ? 312 + 41 ? 2 = 1 ? 3 + 4 ? 2 = 0 bulunur SIFIR POLİNOMU P(X) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir Örnek P(x) = (m + 3)x2 + (n ? 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim Çözüm P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için; m + 3 = 0, n ? 5 = 0, t = 0 ; m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır SABİT POLİNOM P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = = a1 = 0 ve a0 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir 0xn + 0xn-1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır Örnek P(x) = (a ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim Çözüm P(x) = A ? 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ? 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir n dereceden, A(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 ve B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b2x2 + b1x + b0 polinomları için; A(x) = B(x) an = bn, an-1 = bn-1, , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır Örnek A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d, B(x) = (b - 1)x3 ? 3x2 ? (2c ? 3) x + polinomları veriliyor A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım Çözüm A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d, B(x) = (b ? 1)x3 - 3x2 ? (2c ? 3)x + olduğundan; A(x) = B(x) 5 = b ? 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c ? 3), d = b = 6, a = -4, c = , d = dir POLİNOM FONKSİYONLARI P : R R x P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir P : R R x P(x) = 5x3 + 2x2 ? 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur Örnek P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz Çözüm P(x-1)?i bulmak için P(x)?de x yerine x-1?i yazalım P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1 = x2 ? 2x + 1 + 2x ? 2 + 1 = x2 P(x-1) = x2 olarak bulunur II: Yol: Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1?i yazalım P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur Örnek P(x) polinomu için, P(x+2) = x3 ? 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz Çözüm P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde H = x + 2 h ?2 = x?i yerine yazalım P(h ? 2 + 2) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4 P(h) = (h ? 2)3 ? 2(h ? 2)2 + 4 P(x) = (x ? 2)3 ? 2(x ? 2)2 + 4 bulunur POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa P(1) = an + an-1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur Örnek P(x) = 2x4 + 5x3 ? 3x2 + x ? 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz Çözüm P(x) de x = 1 ?i yerine yazalım P(1) = 214 + 513 ? 312 + 1-1 = 2 + 5 ? 3 + 1 ? 1 = 4 bulunur POLINOMLARDA İŞLEMLER Polinomlarda Toplama İşlemi A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0 Örnek P(x) = x3 + 2x2 ? 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz Çözüm P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + = x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır 1 Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır 2 Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır 3 Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır 4 Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır 5 Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır İki Polinomun Farkı P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) ? Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir P(x) ? Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir Örnek A(x) = 5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2 ve B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) ? B(x) farkını bulalım Çözüm B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 ? 2x2 - dir A(x) ? B(x) = A(x) + (-B(x)) = (5x4 + x3 ? 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 ?2x2 - ) = (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 ?2)x2 + x + (2 - ) = 10x4 ? x3 ? 5x2 + x - olur Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) ? B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır Polinomlarda Çarpma İşlemi A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ?in her terimi B(x)?in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur anxn ile bkxk teriminin çarpımı anxn bkxk = (an bk) xn+k dir Yani (5x3) (-2x4) = 5 (-2) x3+4 = -10x7 Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz Der [A(x) B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x)) Örnek A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x C(x) = x2 ? x + 1 polinomları veriliyor a) A(x) B(x) b) B(x) C(x) çarpımlarını bulunuz Çözüm a) A(x) B(x) = (3x4 + 1) (x2 + x) = 3x4 x2 + 3x4 x + x2 + x = 3x6 + 3x5 + x2 + x b) B(x) C(x) = (x2 + x) (x2 ? x + 1) = x2 x2 ? x2 x + x2 1 + x x2 ? x x + x 1 = x4 ? x3 + x2 + x3 ? x2 + x + 1 = x4 + x + 1 bulunur |
|