Kareköklü Sayılar

Daha önceki seneler bir karenin alanını bulmayı öğrenmiştiniz

Karenin alanını bulurken bir kenarını kendisiyle çarpıyorduk ve buna kare alma işlemi diyorduk

Örneğin karenin bir kenarı 3 ise alanı = 33=9 olarak bulunuyordu

bu işleme kare bulma işlemi diyordukVeyahut “bir sayının karesi” olarak da adlandırılabiliyordu

Karekök işlemi ise bunun tam tersidirYani karesi alınan bir sayının daha önceki halini bulma işlemine “karekök alma” denir

Bunu göstermek için de bir sembol, bir şekil kullanılır

isterseniz birkaç örneğe bakalım

Peki hangi sayının karesi 33 eder ?

Cevap: karesi 33 eden bir tam sayı yok

O halde karesi 33 e yakın olan sayılara bir bakalım

Eğer 25 olsaydı cevap 5 derdik

36 olsaydı cevap 6 derdik

Demekki bu sayının cevabı 5 ile 6 arasında bir sayı olmalı

Yani karekök içindeki 33 sayısı 5 ten büyük 6 dan küçük bir sayıdır

Aynısı Karekök 22 için de geçerli

Eğer karekök içinde 25 olsaydı cevabı 5 olurdu

16 olsa idi cevabı 4 olurdu

Demekki bu sayımız 4 ten büyük 5 ten küçük

Not: Karekök içinde 49 sayısını dşünelim

Hangi sayının karesi 49 eder ?

Sorunun cevabı +7 de olabilir -7 de,

çünkü;

(+7)(+7)=49

(-7)(-7)=49

ikisi de olabilirdi

Fakat karekökün kesin bir kuralı vardır:

Karekök alma işleminde bulunan sayı pozitif olmalıNegatif olanları kabul edilemez

O halde cevap -7 olamaz, +7 olabilir

KAREKÖKLÜ İFADELER

n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur
Örnekler:
·n = 2 için Öa : Karekök a,
· n = 3 için Öa : Küpkök a,
· n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not:Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir
N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır
Örnekler
· x4 = -16 ise x Ï R dir Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz
Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir
Soru-1

A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm

Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
Þ x³3 ve 5³x
Þ 3 £ x £ 5 tir Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması

Öa = am/n dir

Örnek:
·Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür
Soru-2

Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm

Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
Þ x/3 = (1 – 2x)/(2)
Þ x = 8/3 dir
Köklü İfadenin Üssünün Alınması

Tanımlı olduğu durumlarda,

(Öa )m = Öam
Örnekler:
· (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
· (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması

Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir
n Î Z+ olmak üzere,

a , n tek sayı
Öan =
½a½ , n çift sayı

Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir

a/c Öb = Ö(anb)/(cn)

Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır
Örnekler:
·Ö2Ö3/16 = Ö(325)/(16) = Ö6
· xyÖ1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
· -1/3 Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür

Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme

Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir
k Î Z+ olmak üzere

Öan = Öank = Öan/k

Örnekler:
·Ö32 = Ö25 = Ö2
·Ö3 = Ö32 = Ö9
·Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
·Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir
Soru-5

x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm

X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir Buna göre:
x = Ö2 = Ö26 = Ö264
y = Ö3 = Ö34 = Ö81
z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
125>81>64 olduğundan z>y>x tir
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır
xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi
Örnekler:
·Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
·Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)

Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme

Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır
Tanımlı olduğu durumlarda:
Öa Öb = Öab
Öa / Öb = Öa/b

Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir
Öa Öb = Öam Öbn = Öambn
Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir
Örnek:
· (Ö2 Ö3) / (Ö5 ) = Ö(23)/(5) = Ö6/5 tir

Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır
a / Öbm = (a / Öbm ) (Öbn-m / Öbn-m) = (a Öbn-m) / (b) dir
Örnekler

· a/Öb = (a/Öb) (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
· 1/Ö32 = (1/Ö25) (Ö22/Ö22) = Ö4/2
· 1 / (Ö2Ö3) = [1/(Ö2Ö3)][(Ö22Ö3)/(Ö22Ö3)] = (Ö4Ö3)/(23) = (Ö4Ö3)/(6)

Örnek:
· 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)][(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
· 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)][(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3

Not:n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır