Tam Sayılar Ve Tamsayılarda Dört İşlem Özelliği

Tam sayılar ve tamsayılarda dört işlem özelliği


Geleneksel olarak, Sayı bir çokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir
Fakat modern matematikte artık büyüklük belirtmediği halde geleneksel sayıların çeşitli özelliklerine benzer özellikler taşıyan nesnelere de sayı denmesi adettendir Sayı kavramının gelişimi aşağı yukarı aşağıdaki sırada olmuştur

• Doğal Sayılar, matematikte N harfi ile gösterilir ve saymada kullanılan {0, 1, 2, 3,} gibi sayılardan oluşur sayı kavramının en doğal başlangıç noktasını oluştururlar
• Doğal sayılara negatif simetrileri eklenirse Tam Sayılar bulunur Tam sayılar Z ile gösterilir Çıkarma işleminin kolayca anlamlandırılabilmesi için (mesela borçlar hesabını kolaylaştırmak için) geliştirilmişlerdir
• Tam sayılar kullanılarak oluşturulan kesirlere denk gelen büyüklüklere rasyonel sayılar denir ve Rasyonel Sayılar Kümesi Q ile gösterilir Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir
• Eğer rasyonel sayılara virgülden sonra kendini tekrar etmeden devam eden ondalıklı sayılar olan İrrasyonel Sayılar da eklenirse Reel Sayılar Kümesi'ne ulaşılır ve bu küme R harfi ile ifade edilir Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir
• Tüm cebirsel denklemleri çözebilmek için Reel sayılar tekrar genişletilirse Kompleks Sayılar Kümesi elde edilir Kompleks sayıların sembolü C dir Rönesans döneminde gerçekleşen cebirsel denklemlerin çözüm metodlarındaki ilerlemelerin bir uzantısı olarak sayı kavramına eklenmişlerdir

DOĞAL SAYILAR, TAMSAYILAR
1) 8 107 + 5 103 + 4 10 sayısı, aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: 8 107 + 5 103 + 4 10 = 8 107 + 0 106 + 0 105 + 0 104 + 0 103 + 0 102 + 4 10 + 0 100 şeklinde yazılabilir
Öyleyse, sayı 80005040’tır

2) Üç ile tam bölünebilen iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aranan sayı, A = 12 + 15 + 18 + … + 96 + 99’dur
A = 3 (4 + 5 + 6 + … + 32 + 33) =
= 3 (33 17 – 3 2) = 3 (561 – 6)
= 3 55 = 1665 3) 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 – x
= 103 ise x kaçtır?
Çözüm: Toplamadaki ardışık terimlerin farkı 5 olduğundan, A = 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 toplamında terim vardır
4) 8 tane sayının aritmetik ortalaması 15’tir
Bu sayılara 21 ve 29 katılsaydı, aritmetik ortalama kaç olurdu?

TAM SAYILARDA DÖRT İŞLEM

Toplama İşlemi:
a,b,c N a+b=c toplama işleminde, a ile b’ ye toplanan sayılar, c’ ye de toplam denir

Toplama İşleminin Özellikleri
1)kapalılık özelliği:
İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır a N b N için (a+b) N 2)değişme özelliği:
Toplama işleminde, toplanan sayıların yerleri değişirse toplam değişmez
a N ve b N için; a+b=b+a

Toplamanın:
1Değişmeözelliği:
a+b=b+a 3)birleşme özelliği:
Üç doğal sayının toplamını bulmada, terimlerden istenen ikisinin toplamı üçüncü ile toplanabilir
2Birleşmeözelliği:
a+(b+c)=(a+b)+c Eğer
a=b+k eşitliğini sağlayan pozitif bir k sayısı varsa; a, b’den büyüktür denir
a>b şeklinde gösterilir
Eğer a ve b herhangi iki pozitif sayı ise a=b, ab olur
Ardarda yapılan toplama işlemiyle bir ikinci onluk sistem işlemi tarif edilebilir 5+5+5 şeklindeki a N,b N ve c N için;
(a+b)+c=a+(b+c) 4)
etkisiz eleman:
Sıfır sayısı,doğal sayılar kümesinde,toplama işlemine göre etkisiz elemandır
Çıkarma İşlemi:
a,b N, a─b=a+(─b)=c çıkarma işleminde a eksilen,b çıkan,c farktır

Çarpma İşlemi:
a,b,c N, a×b=c çarpma işleminde, a çarpan,b çarpan,c ise çarpımdır

Çarpma İşleminin Özellikleri
kapalılık özelliği:
İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır
a N,b N için; a×b=c,c N 2)
değişme özelliği:
İki doğal sayı çarpılırken, elemanların yerleri değiştirildiği zaman sonuç değişmez
a,b N için; a×b=b×a 3)
birleşme özelliği:
Üç doğal sayının çarpma işleminde,terimlerden ikisinin çarpımı üçüncü ile çarpılabilir
a,b,c N için; (a×b)×c=a×(b×c)
yutan eleman:
Sıfır sayısı,doğal sayılar kümesinde,çarpma işlemine göre yutan elemandır
etkisiz eleman:
Bir(1) sayısı,doğal sayılar kümesinde, çarpma işlemine göre etkisiz elemandır
dağılma özelliği:
Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
a,b,c N için; a×(b+c)=(a×b)+(a×c) a×(b-c)=(a×b)-(a×c) bir işlem 3x5 şeklinde gösterilebilir
Böylece yapılan işleme çarpma işlemi denir
5 sayısı çarpılan, 3 sayısı çarpan, işlemin sonucu da çarpım diye isimlendirilir x sembolü çarpı diye okunur
Genellikle ab veya basitçe ab şeklinde de yazılabilir
3Çarpmaişleminindeğişmeözelliği: ab=ba
4Çarpmaişlemininbirleşmeözelliği: a(bc)=(ab)c
5Çarpmanıntoplamaüzerinedağılmaözelliğ i (a+b) c=ac+bc
Ardarda toplanan k kadar a’nın ka yazıldığı gibi, ardarda çarpılan k kadar a da ak şeklinde yazılır Burada a taban, k de üs diye adlandırılır

Aşağıdaki Formüller çarpma tanımından çıkarılabilir:
6**an=**+n
7(**)n=amn
8**bm=(ab)m
9**/an=**-n(m>n)

Bölme İşlemi:
a N, b {N─0} ve c,d N için; a÷b=c bölme işleminde, a bölünen, b bölen, c bölümdür Bölme işlemi: Eğer üç pozitif a, b ve c sayıları arasında ab=c eşitliği sağlanıyorsa a ve b’ye, c’nin bölenleri ve a ile b, c’yi böler denir b=a/c şeklinde yazılır
Bölmede bir sayısı etkisiz elemandır ve bütün pozitif sayıların bölenidir Eğer c sayısı, her biri birden büyük pozitif bir sayı olan a, b sayılarının bir çarpımı şeklinde ab ile gösterilirse c’ye asal olmayan sayı denir
Kendinden ve birden başka sayıya bölünmeyen sayılar asal sayılardır 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Pozitif sayılardan meydana gelen bir kümede bütün sayıları bölen en büyük sayıya ortak bölenlerin en büyüğü (obeb) denir
Pozitif bir m sayısı diğer bir çok sayıların bir katı ise bu sayıya en küçük ortak katsayı adı verilir

Bayağı kesirler:
Bazı problemlerde bütün ölçüler her zaman tam sayılarla ifade edilemezler Genel olarak d(1/d)=1 özelliğinden faydalanarak kesir birimi 1/d şeklinde gösterilir a/d kesrinde d’ye payda, a’ya da pay denir a/d pozitif kesri eğer ad ise bileşik kesir ismi verilir
Pozitif sayılar ve kesirler bazan pozitif rasyonel sayılar diye de isimlendirilir Genelde bütün pozitif rasyonel sayılar için geçerli olan yukarıda gösterdiğimiz ilk beş kural, bayağı kesirler için de geçerlidir
Kesir tanımından kolayca görüleceği gibi paydaları aynı olan iki kesir, toplamı verilen kesirlerin paylarının toplamı ile aynı paydadan meydana gelen bir kesirdir
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için mesela a/d ve b/c kesirinde d ve c sayılarının en küçük ortak katları bulunur
m=kd=fc eşitliğini sağlayan k ve f sayıları bulunduktan sonra işlem şöyle olur:
a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m böylece
a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m
İki kesirin çarpımı ve bölümü aşağıdaki gibi tariflidir
(a/d)(b/c)=(ab)/(bc), (a/b)c/d)= (a/b)(d/c)= (ad/bc)

İrrasyonel sayılar:
a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılardır
3 5, 2 gibi sayılar ve p (pi) bunlardandır

Onluk sistem:
Bütün sayılar on’un kuvvetleri şeklinde ifade edilebilir
Mesela 32158= 3104+2103+1102+5101+8100
taban olarak 10’luk sistemin kullanılması ellerde 10 parmağın olmasından ileri gelmektedir
TAM SAYILAR
Matematiğin neredeyse başlangıcı denebilecek aksiyomlar bütünüdür
1 bir doğal sayıdır
Her doğal sayıya karşılık ardışığı diyeceğimiz bir doğal sayı vardır
Ardışıkları eşit olan doğal sayılar bir birine eşittir
Doğal sayılardan oluşan bir küme 1 doğal sayısıyla birlikte her doğal sayıyı ardığışı ile birlikte içeriyorsa, o küme doğal sayılar kümesinin aynısıdır
Tam sayılar küme sinin negatif sayı ı içermeyen en kapsamlı alt kümesinin elemanları
Bu tanım MEBmüfredatında bulunan bir tanımdır
mathbb{N} = left{ 0,1,2,3,
ight}
Doğal sayılar kümesinin 0 elemanı dışındaki elemanlarına sayma sayıları denilir (mathbb{N}^{+})
Üniversite müfredatında Doğal Sayılar 1 den başlar
Yani üniversite müfredatında Doğal Sayılar Kümesiyle Sayma Sayıları Kümesi aynıdır
Doğal sayılar kümesi sonsuz ve sayılabilen bir kümedir
Tam sayılar , doğal sayılar (0, 1, 2, ) ve bunların negatif değerlerinden oluşur
(-1, -2, -3, ; -0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz)
Matematik te tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da mathbb{Z} şeklinde gösterilir)
Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir
2- Tam Sayılar Künesi 0 dan mı başlar 1 den mi?
Bu konuda Matematikçilerin kesin bir fikir birliği olmamakla beraber büyük çoğunluğu 0 sayısını doğal sayı olarak kabul etmektedirler
Doğal Sayılar (Natural Numbers) adı üzerinde günlük hayatta karşılaştığımız varlıkların sayısını belirtir
1 elma , 2 ekmek, 10 lira gibi
Evet bütün elmalar doğal olarak bir bütündür (tabi yarısını yiyip bırakırsak kalan yarım doğal olmaz)
Burada dikkat etmemiz gereken birşey şudur
Nasıl 1,2,3 elmadan bahsedebiliyorsak; hiç elma olmama durumundanda bahsedebiliriz (şu an bende olmadığı gibi)
Buda doğal bir durumdur ve sizce hangi sayı ile ifade edilmelidir
Tabiki 0 ile
Ayrıca Doğal Sayılarda dört işlem yapılabilmektedir
0 sayısı olmadan basamaklardan onluk sistemden bahsedemiyeceğimiz için bencede 0 sayısı bir Doğal Sayı olarak kabul edilmelidir
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } Sayma Sayılar Kümesi ise 1 den başlamaktadır
Sınıfta yoklama yapılırken sadece mevcutlar sayıldığı için 0 kullanılmaz
0 ile 1 Neden Asal Sayı Değildir?
veya Asal Sayılar Neden 2 den başlar?
Asal Sayıların tanımını iyi anlarsak sorunun cevabı anlaşılmış olur

Asal Sayı;
Sadece 1 ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır
Demekki Asal Sayılar doğal sayı olmalıdır
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, } İkinci şart; 1 ve kendisine tam olarak bölünebilmelidir
Başka bir deyişle asal sayıların tam 2 tane böleni olmalıdır
0 sayısı bütün doğal sayılara bölünebilir(0 hariç)
0 :1 = 0 ; 0 :2 = 0 ; 0 :10 = 0 Fakat 0 sayısı kendisine bölünemez
0 :0 = belirsizdir
Dolayısıyla 0 sayısı asal sayı tanımına uymamaktadır
(Hem kendisine bölünemiyor, hemde bölen sayısı 2 den fazladır)
1 sayısının ise sadece bir tane böleni vardır
1 : 1 = 1, başka böleni olmadığı için asal sayı değildir
Tanımı sağlayan ilk doğal sayı (çift sayı olmasına rağmen) 2'dir
2 :1 = 2 1'e bölünebilir
2 :2 = 1 Kendisine bölünebilir