Harfli İfadeler Ve Denklemler

DENKLEM KURMA PROBLEMLERİ

A SAYI KESİR PROBLEMLERİ

Verilen problemin x, y, a, p, n, gibi sembollerle ifade edilmesine denklem kurma denir

Bir x sayısının; a fazlası > x+a

a eksiği > x-a

a katı > ax

1 sı > 1 X

a a

Örnek ? 1

Ali, Ayşe ve Mehmet 27700 lirayı paylaşacaklardır Ali, Mehmet'ten 1000 lira fazla, Ayşe, de Ali'den 1300 lira eksik alacaktır Buna göre, Mehmet'in payı kaç lira olur?

A) 8000 B) 9000

C) 10000 D) 11000

(1990? FL)

Çözüm

Mehmet:x

Ali :x+1000

Ayşe :x+1000)-1300

+

Toplam 3x + 700 = 27700

3x = 27000

x = 9000 olur

Cevap B

Örnek-2

?İki sayıdan biri diğerinden 8 büyüktür Büyük sayının 2 katı ile küçük sayının 4 katı toplamı 184 ettiğine göre büyük sayı kaçtır?? Bu problemin çözümünü veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A)x+2(x+8)=184

B)2x+4(x-8)=184

C)2x+4(x+8)=184

D) 4x+2(x-8)= 184

(1992? FL)

Çözüm

küçük sayı Büyük sayı

x-8 x

Büyük sayının 2 katı > 2x

Küçük sayının 4 katı > 4(x- 8) dir

Toplamları; 2x + 4(x ?8) = 184 olur

Cevap B

Örnek-3

Bir öğrencinin 140000 lirası vardır Bu öğrenci 4 kitap, 6 defter alırsa 20000 liraya ihtiyacı olacaktır Eğer 4 defter, 6 kitap alırsa 20000 lirası artacaktır Bir defter ile bir ki*tabın toplam fiyatı kaç liradır?

A) 12000 B) 24000 C) 28000 D) 36000

(1992? FL)

Çözüm

4 kitap + 6 defter=160000 lira ve

6 kitap + 4 defter = 120000 lira

+

10 kitap + 10 defter 280000

1 kitap + 1 defter = 28000 lira olur

Cevap C

Örnek-4

3 1

Ali'nin parasının ? i, Ayşe'nin parasının ? üne eşittir Ay*şe, Ali'ye 3000 lira verseydi

5 3

paraları eşit olacaktı Ali'nin parası kaç liradır?

A) 5500 B) 7500 0)15000 D) 30000

(1992? FL)

Çözüm

Ali Ayşe

a b lira olsun

3a b 9a

? = ? b= ? tir

5 3 5

a + 3000 = b-3000

9a

a + 6000 = ??

5

5a + 30000 = 9a

30000 = 4a

a = 7500 lira olur Cevap B

Örnek-5

1 1

Bir bisikletli gideceği yolun önce ? ünü, sonra ? ünü,

1 3 4

daha sonra ise kalan yolun ? ini gidiyor Bisikletli top-

5

1am 24 km yol aldığına göre, gitmesi gereken kaç km yolu kalmıştır?

A)8 B)10 C)12 D)16

(1993-FL)

Çözüm

1 1 4+3 7

Önce ? + ? = ?? = ??

3 4 12 12

1 12 7 5

Sonra Kalanın ? ini, yani ? - ? = ?

5 12 12 12

5 1 1

? x ? = ?sini daha gider

12 5 12

7 1 8 2

Toplam gittiği yol ?+? = ? = ? ü olur

12 12 12 3

2 3 2 1

? ü 24 km ise,kalan yol ? - ? = ? tür

3 3 3 3

2

? ü 24 km ise 24:2=12 km olur

3

Cevap C

Örnek-6

Bir köylü kilogram; 95000 liradan 30 kg elma satmıştır Eline geçen paranın 1 275 000 lirası ile kumaş, kalanı ile de zeytinyağı almıştır Zeytinyağının bir litresi kaç Ii*radır?

Bu problemin çözülebilmesi için, aşağıdaki bilgiler*den hangisinin verilmesi gerekir?

A) Elmalardan kaç lira kazanıldığı

B) Kaç metre kumaş alındığı

C) Zeytinyağına kaç lira verildiği

D) Kaç litre zeytinyağı alındığı

(1998-ÖO)

Çözüm

30 kg elma > 30 x 95 000 = 2 850 000 lira

2 850 000 - 1 275 000 = 1 575 000 lira kalan para

Köylünün zeytinyağına verdiği toplam para bulunmuş*tur Fakat zeytinyağının bir litresinin fiyatının bulunabil*mesi için, kaç litre zeytinyağı alındığının bilinmesi gerek*lidir

Cevap D

B YAŞ PROBLEMLERİ

· Belli bir sene sonra herkes aynı miktarda yaşlanır

· İki kişinin yaşları toplamı t yıl sonra 2t artar

· Belli bir sene önce herkes aynı miktar daha gençti

· Üç kişinin yaşları toplamı t yıl önce 3t daha azdır

· İki kişinin arasındaki yaş farkı zamanla değişmez

Örnek-7

Anne ile 3 çocuğunun yaşları toplamı 61 dir 3 yıl sonra annenin yaşı, çocuklarının yaşları toplamının 2 katının 2 eksiği olacaktır Annenin şimdiki yaşı kaçtır?

A)40 B)45 C)50 D)55

(1996? ATML)

Çözüm

Anne 3 çocuk

Şimdiki yaşları: x 61-x

3 yıl sonraki yaşları: x + 3 61-x + 9

x+3=2(70-x)-2 dir

x+3=140-2x-2

3x= 135 ise

x=45 olur

Cevap B

Örnek-8

Bir çocuk 9, annesi 42 yaşındadır Kaç yıl sonra yaşları

3

farkının, yaşları toplamına oranı ? olur?

7

A)9 8)11 C)13 D)15

(1997 ? FL/AOL)

Çözüm

Çocuk Annesi

Bugünkü yaşları 9 42

x yıl sonraki yaşları 9 + x 42 + x

Yaşları farkı 42+x?9 x 3

??????? = ???????

Yaşları toplamı 42+x+9±x 7

33 11 3 1

??? = ?? 77 = 51 + 2X

51+2X 7

2X = 26

X= 13 olur

Cevap C

C İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

· Birim zamanda yapılan iş veya dolan havuz üzerinden işlem yapılır

· Bir işin tamamı (işçi sayısı sabit tutularak) a saatte bitiyorsa, 1 saatte bu işin sı biter

(Havuz problem*leri içinde benzer bir mantık kullanılır)

· Bir işin tamamını 1 işçi a Il işçi b saatte, ikisi birlikte x saatte bitirebiliyorlarsa;

1 1 1

?+ ? = ? tır

a b x

· Dolduran musluk için (+), boşaltan musluk için ise (?) işareti kullanılır

· Bir işi üç işçi sırasıyla a, b, e günde yapabilmektedir Üçü birlikte t gün çalıştıktan sonra 1 işçi işi bırakıyor Kalan işi diğer işçiler x günde tamamlıyor

Bu durumda;

1 1 1 1 1

t ? + ? + ? + X ? + ? = 1 dir

a b c b c

Bu mantık genişletilerek diğer soru tiplerine uyarlanabilir

Örnek-9

5

Birinci musluk boş bir havuzun 6 günde tamamını, ikinci musluk 1 günde ? sini dolduruyor

12

Üçüncü bir musluk da dolu olan bu havuzu 3 günde boşaltıyor Bu üç mus*luk aynı anda açılırsa boş olan bu havuz kaç günde dolar?

A)1 B)2 C)3 D)4

(1991 ?FL)

Çözüm

1 1 1 1

? + ? - ? = ?

a b c x

1 5 1 1

? + ? - ? = ?

6 12 3 x

2 + 5 ? 4 1

???? = ?

12 x

3 1

? = ? ise, X=4 olur

12 X

Cevap D

D HAREKET PROBLEMLERİ

· x = Yol, v = Hız, t = Zaman olmak üzere;

x x
x=v t , v= — , t= —
t v

Örnek-10

A şehrinden B şehrine aynı anda hareket eden iki oto*büsün saatteki ortalama hızları 80 km ve 90 km dir Hı*zı fazla olan otobüs, diğerinden 10 dakika önce 8 şeh*rine vardığına göre, iki şehir arası kaç km dir?
A)100 B)120 C)130 D)150
(1990— FL)

Çözüm
10
10 dakika= — saattir
60

Yol = Hız X Zaman idi

IABI=90t ve

10
IABI = 80 (t + —) dır
60

Alınan yollar eşit olduğundan,
1
90 t = 80 (t+ —)
6
8
9t = 8t + —
6
4
t — saattir Buradan,
3
4
ABİ = 90 —
3

ABİ 120 km olur
Cevap B

Örnek-11
Aralarında 400 km bulunan iki hareketli aynı anda birbir*lerine doğru hareket ediyorlar Hareketlilerden birinin hı*zı saatte 60 km olduğuna ve 4 saat sonra karşılaştıklarına göre, diğer hareketlinin saatteki hızı kaç km dir?
A)70 B)60 C)50 D)40

Çözüm

400 = (60 + V2) 4

100 = 60 + V2

40 = V2 olur
Cevap D
Örnek-12

“Saatte ortalama 80 km hızla giden bir otobüs, kendisin*den 120 km önde ve saatte ortalama 60 km hızla aynı yöne giden bir kamyona kaç saat sonra yetişir?” Proble*minin çözümünü veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?

1 1
A) —— + — =120
80X 60X

B) 80x-60x= 120

C) 80x + 60x = 120

1 1
D) —— - —— =120
180X 60X
(1993— FL)
Çözüm

Otobüs kamyona x saatte yetişir
x saat sonra otobüs 80x kamyon ise 60x yol alır
Bu yol farkı ise 120 km dir Problem çözümünü veren denklem,
80x - 60x= 120 olur
Cevap B

Örnek-13
A şehrinden B şehrine gitmek için, aynı anda yola çıkan iki otobüsün birinin saatteki ortalama hızı 80 km, diğeri*ninki 110 km dir Hızlı giden otobüs B ye 3 saat önce vardığına göre, iki şehir arası kaç km dir?
A)1210 B)1000 C)880 D)720
(1995-FL/AOL)

Çözüm
İki aracında aldığı yollar eşit olduğundan;
80 t= 110 (t - 3)
5t = 11 (t - 3)
8t = 11t - 33
33 = 3t
t = 11 saat
x = 80 t x=8011 ise, x=880 km olur Cevap C

Örnek
Bir nehirde 180 km lik bir yolu, motor; akıntının etkisiyle
18 saatte gidip, 30 saatte dönüyor Bu motorun kendi
hızı saatte kaç km dir?
A)6 B)8 C)10 D)12

Çözüm
180
VA+VK= —— =10
18

180
VK-VA= —— =6
30
+

2 VK = 16 ise
VK = 8 km
Cevap B

E YÜZDE PROBLEMLERİ

1 Basit Yüzde Problemleri

Bu problem tipindeki soruları yaparken aşağıdaki tablo*da verilen bilgileri bilmek sizlere kolaylık sağlayacaktır

a
%a= —— dür
100
a
Bir sayının % a sı = X—— dür
100
100+a
Bir sayının % a artırılmış hali = X ——— dür
100

100-a
Bir sayının % a azaltılmış hali = X ——— dür
100

2 Kar - Zarar Problemleri

Bu tip sorularda, aşağıdaki tabloda verilen bilgiler kolaylık sağlayacaktır
Maliyet % 20 kar % 20 karlı satış
100 20 120
Maliyet % 20 indirim % 20 indirimli satış
100 20 80
Örnek

% 32 indirimle 17 000 liraya satılan bir ayakkabının, indirimden önceki fiyatı kaç liradır?
A) 20 000 B) 22 000
0) 25 000 D) 27 000
(1990— FL)
Çözüm

% 100-%32 = %68 (% 32 indirimli)

%68 i l7000 lira ise
%100 ü x liradır

x=17000 100
68
x = 25000 liradır
Cevap C

Örnek
1
Bir malın— ü % 25, geri kalanı da % 30 karla satılıyor
3
Eğer malın tamamı % 35 karla satılsaydı 200 000 lira daha fazla kar edilmiş olacaktı Bu malın mal oluş fiyatı kaç liradır?
A) 3000000 B) 6000000
C) 8000000 D) 10000000
(1993— FL)
Çözüm

Malın tamamı x olsun;

x 125 2x 130 135
—— — — + —— —— = x —— - 200000
3 100 3 100 100
125x+260x 135x
————— - —— = -200 000
300 100
(3)
385x - 405x
————— = -200000 - 20x = -60000000
300

x = 3000000 lira olur Cevap A

Örnek
Bir kırtasiyeci kalemlerin tanesini a liradan satarsa top*lam b lira zarar, c liradan satarsa toplam d lira kar ede*cektir Buna göre, aşağıdaki işlemlerden hangisi yapı*lırsa kalem sayısı bulunur?
b+d c+a b d d b
A) —— B) —— C) — + — D) — - —
c-d b-d c a a c
(1994— FL)
Çözüm

Kalem sayısı: x

Maliyet: y lira olsun

x a = y - b
x c = y + d
———————— Taraf tarafa çıkarma işlemi yapalım
(xa - xc) = - b - d
x(a - c) = - b - d
x(c - a) = b + d

b+d
x= ——olur
c-a
Cevap A
Örnek
Bir mal %20 karla 36000 liraya, başka bir mal da % 20 za*rarla 36000 liraya satılıyor Satıcının iki malın satışı so*nundaki kar - zarar durumu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3000 lira kar B) 3000 lira zarar
0) 1500 lira kar D) 1500 lira zarar
(1995— DPY)
Çözüm
120
A —— = 36000 ise, A = 30000 dir
100
36000-30000= 6000 lira kar
80
B —— = 36000 ise, B = 45000 dir
100
45000- 36000 = 9000 lira zarar

Toplam = 9000 - 6000
= 3000 lira zarar olur
Cevap B
3 Faiz Problemleri
F:Faiz
A: Ana para (kapital, sermaye)
n :Faiz yüzdesi (faiz fiyatı)
t aman olmak üzere,

Ant
Yıllık faiz > F= ——
100
Ant
Aylık faiz > F= ———
12100
Ant
Haftalık faiz > F=———
52100

Ant
Günlük faiz > F= ————
360100

Örnek

Bankaya yatırılan 400 000 lira paranın 6 yılda getirdi*ği faizi, aynı faiz yüzdesi ile 600 000 lira kaç yılda ge*tirir?
A)1 B)2 0)3 D)4
(1992— EL)
Çözüm

Ant
F= ———__ formülünden
100

400000 6 t 600000nt
F= ————— = —————
100 100

2 400 000 = 600 000n
n = 4 yıl olur
Cevap D
4 Karışım Problemleri
Saf madde miktarı
Karışım oranı = —————————
Tüm karışım miktarı
Örnek

100 kg şekerli suyun % 40 ı şekerdir Bu şekerli suya kaç kg su katalım ki karışımın şeker oranı % 20 ol*sun?

A)50 8)100 0)150 D)200
(1992— EL)

Çözüm
40
100 —— = 40 kg şeker
100
Saf madde miktarı
Karışım oranı = ————————— formülünden
Tüm karışım miktarı
20 40
—— = ———— ise x = 100 kg olur Cevap B
100 100+X

HARFLİ İFADELER
A HARFLİ İFADELER

5a, x3, 3r, 2(a - b), x + y - z gibi ifadelere harfli ifadeler denir

• 3x2y ifadesinde 3 e kat sayı denir

• Harfli ifadelerde, eksi (-) veya artı (+) işaretleriyle birbirinden ayrılan kısımlara terim denir

• Harfleri ve harflerin kuvvetleri aynı olan terimlere benzer terimler denir

1 Benzer Terimlerle Toplama ve Çıkarma İşlemi

Harfli ifadeler toplanırken, benzer terimlerin kat sayıları toplanır Bulunmuş olan toplamın yanına benzer teri çarpan olarak yazılır

Örnek

• 4x+3x=(4+3)x = 7x

• 5x2 +9x2 - 8x2=(5+9-8) x2 = 6x2
1 5 1 5 6
• — x + — x = — + — x = — x = 2x
3 3 3 3 3

2 Harfli İfadelerle Çarpma İşlemi

Üslü sayılarda gördüğümüz tabanları ayni olan üslü sayıların çarpımı kuralını bu bölümde de kullanacağı; Yani;

(a xn) (b xm) = a b xn+m dir

Örnek
• a a a = a1+1+1 = a3

• x3 x7 x2 = x3+7+2 = x12

• (3a3 b) (-2 a b2) -3 ( 2) a3+1 b1+2 = -6a4 b3

şeklinde olur Şayet çarpma işlemi iki tane çok terimliden oluşuyorsa bu çok çok terimlilerde çarpma işlem çarpmanın toplama işlemi üzerine dağılma özeliği kullanılarak yapılır

Örnek

• 3a(a+2)=(3aa)+(3a2) = 3a2+6a

3 Harfli İfadelerde Bölme İşlemi

Üslü sayılarda gördüğümüz tabanları aynı olan üslü sayıların bölümü kuralını bu bölümde de kullanacağız Yani;

a xn a
—— = — xn-m ‘dir
b xm b

Örnek

X3
—— = X3-1 = X2
X

4 Harfli Bir İfadenin Sayısal Değerini Bulma

Harfli bir ifadenin verilen bir sayıya göre değerini bul*mak için, ifadede harfin yerine sayı yazılarak işlem ya*pılır

Örnek

• x = 2 için x2 + 4x + 2 nin değerini bulalım:

x2+ 4x + 2 ifadesinde x yerine 2 sayısını yazarsak;

22 + 42 + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 olur


5 Harfli ifadelerin Derecesi

Tek terimli harfli ifadenin derecesi, içinde bulunan bir harfin üssüne ya da terimin bütün harflerinin üslerinin toplamına göre söylenir

Örnek

5x7 y2 ifadesi;
• x e göre 7 derecedendir
• y e göre 2 derecedendir
• Tüm harflerine göre 9 derecedendir (7 + 2 = 9)

Örnek
2x2 (3x - 4) ifadesi;

2x23x - 2x2 4 = 6x3 - 8x2 dir Buna göre bu harfli ifadenin derecesi en yüksek dereceli olan ifadenin derecesidir Yanı 3 tur