Yutan Eleman Nedir?

Yutan Eleman Nedir?

Yutan eleman, üzerinde ikili bir işlem bulunan bir kümede özel bir eleman (öğe) Bir küme ve üzerinde ikili bir işlemden oluşmuş matematiksel nesneye grupoit (magma) denir Bir grupoitte herhangi bir elemanla soldan (ya da sağdan) işleme sokulduğunda hep kendini veren elemana soldan (ya da sağdan) yutan eleman denir

Herhangi bir halkada yutan eleman tanımı toplamanın etkisiz elemanıyla örtüşür

(1) Mantıkta {DOĞRU,YANLIŞ} kümesi üzerinde VE ve VEYA ikili işlemleri tanımlıdır VE işleminin yutan elemanı DOĞRU'dur; VEYA işlemininse YANLIŞ'tır

(2) mathbb{R}'den mathbb{R}'ye fonksiyonlar kümesinde bileşke işlemine göre soldan yutan eleman sabit fonksiyonlardır ve dolayısıyla yutan eleman tek değildir Sağdan yutan eleman yoktur

(3) Bir grupta yutan eleman olması için grubun sıfır (tırışka) grup olması gerekir

(4) (mathbb{Z},+,x) tamsayılar halkasında çarpma işlemine göre yutan eleman, + işleminin etkisiz elemanı olan 0 sayısıdır

Halkada yutan eleman

Yukarıda, sıfır (tırışka) olmayan bir grupta yutan elemanının olmadığını oysa mathbb{Z} halkasında yutan eleman olduğunu gözlemledik Bu son gözlem genelleştirilebilir: (H,+,*) bir halka olsun H 'de toplamanın etkisiz elemanını 0 diye gösterelim H'de her a için x*a=x veren x elemanına yutan eleman deniyordu x*0=0 ve x*0=x eşitliklerinin ikisinin de doğru olabilmesi ancak x elemanının 0 olmasıyla olasıdır

Ayrıca, bir halkada yutan eleman, halka eğer tırışka değilse her a için x*a=0 eşitliğini veren tek x elemanı olarak da tanımlanabilir x, tüm a elemanları için bu eşitliği sağlayan bir eleman olsun

H tırışka olmayan bir halka olsun a ve b, H halkasında x+a=b eşitliğini sağlayan birbirinden farklı rastgele iki eleman olsun Eşitliğin iki tarafını a ile çarpalım: x*a+a*a=ba Buradan (a+(-b))*a=0 elde edilir b, a 'dan farklı ve rastgele olduğundan a+(-b), 0'dan farklı ve rastgeledir; bu elemana c diyelim Her c farklı 0 için c*a=0 eşitliği bize a'nın herhangi bir elemanla çarpıldığında 0 vereceğini söyler a rastgeleydi, dolayısıyla H'de herhangi iki elemanın çarpımı 0 olacaktır Böyle bir halka ancak sıfır halka olabilir Baştaki kabulümüzle çelişen bu durumdan kurtulmak için baştaki b'nin a 'dan farklı olduğu koşulu kaldırılmalı, dolayısıyla x 0 olmalı, yani toplamanın birim elemanı olmalıdır

arkadaşlar bana yutan eleman ile ilgili 10-15 tane soru bualbilirmsiniz çözümleri ile detaylı çözüm ile

Arkadaşlar lütfen ya yarın götürmem lazım bunu yardımcı olun

A TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir

İşlemler; + , – , : , x, D, m, q, « gibi simgelerle gösterilir

B İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A kümesinde ve « işlemleri tanımlanmış olsun Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim

1 Kapalılık Özeliği

” a, b Î A için a b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi işlemine göre kapalıdır (” : Her)

2 Değişme Özeliği

” a, b Î A için, a b = b a ise, işleminin değişme özeliği vardır

3 Birleşme Özeliği

” a, b, c Î A için a (b c) = (a b) c ise, işleminin birleşme özeliği vardır

4 Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

“ x Î A için, x e = e x = x ise, e ye işleminin etkisiz elemanı denir

e Î A ise, işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir

5 Ters Eleman Özeliği

işleminin etkisiz elemanı e olsun

“ a Î A için, a b = b a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir

a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir

b Î A ise, işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir

• Birim elemanın tersi kendisine eşittir

• Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir

6 Dağılma Özeliği

“ a, b, c Î A için,

a « (b c) = (a « b) (a « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır

(a b) « c = (a « c) (b « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır

« işleminin işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özeliği varsa « işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği vardır

7 Yutan Eleman Özeliği

“ x Î A için, x y = y x = y olacak biçimde bir y varsa y ye işleminin yutan elemanı denir

y Î A ise, işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir

Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir

C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun

Ü b D c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b D c nin sonucudur Buna göre, b D c = a dır

Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi D işlemine göre kapalıdır

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, D işleminin değişme özeliği vardır

Ü Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir Bulunan yutan elemandır

D MATEMATİK SİSTEMLER

1 Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun

(A, «) ikilisine matematik sistem denir

2 Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur

I) A, « işlemine göre kapalıdır

II) A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır

III) A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır

IV) A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır

A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur

3 Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır

I) (A, D) sistemi değişmeli gruptur

II) A kümesi « işlemine göre kapalıdır

III) « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır

Ü « işleminin değişme özeliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır

Ü « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir