Köklü Sayılar, Köklü İfadeler, Köklü Sayıların Özellikleri İle İlgili Konu Anlatımlar

KÖKLÜ SAYILAR, KÖKLÜ İFADELER, KÖKLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Üslü ifadelerde negatif veya pozitif reel sayıların tam sayı olan kuvvetlerini tanımlamıştık Bir üslü ifadenin değerini bulmayı biliyoruz

Örneğin;(-2)2=(-2)(-2)=4, (2)=22=4 tür

Burada karesi 4 olan iki reel sayı vardır Bunlardan negatif olanı (-2), pozitif olanı da (+2) dir Bunun gibi karesi 9 olan sayılar (-3) ve (+3) tür Fakat karesi -4 ve -3 olan reel sayı yoktur Genelleyecek olursak; "xÎR+ için karesi x olan biri negatif diğeri pozitif iki reel sayı vardır Değeri ve üssü verilen üslü ifadelerin tabanını bulma işlemine kök alma işlemi denir

TANIM:karesi aÎR+ e eşit olan iki sayıdan negatif olanına a nın negatif karekökü, pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir Negatif karekök “-Öa”; pozitif karekök “Öa” ile gösterilir Yani(Öa)2=(-Öa)2=a dır

Örneğin; x2=16 nın pozitif karekökü x=Ö16=4, negatif karekökü x=-Ö16=-4

(Öa)2=Öa2 ifadesi bazen “a” ya eşit değildir Örneğin;

Öa2 ifadesi daima pozitiftir Öa2³0 olur

Ö4=2 nin doğru olduğuna, Ö4=-2 nin yanlış olduğuna dikkat ediniz

Teorem:bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının mutlak değerine eşittir

"xÎR için Öx2=½x½ tir

İspat;

1 x³0 için ½x½ve Öx2 =x tir o halde, Öx2 =½x½olur

2 x<0 için ½x½=-x ve Öx2 =-x tir (-x>0) o halde, Öx2 =½x½olur

Örnek: x<2 ise Öx2 -4x+4 ifadesi neye eşittir?

Çözüm: Öx2 -4x+4 = Ö(x-2)2 = ½x-2½(Öx2 =½x½)

X<2 ise x-2<0 olur Bu durumda, ½x-2½=-(x-2)=-x+2 bulunur

Örnek: x<0<y ise Öx2+Öy2-Ö(x-y)2 işleminin sonucunu bulunuz

Çözüm: Öx2 = ½x½, Öy2 =½y½ ve Ö(x-y)2 =½x-y½ dir

X<0 Þ½x½=-x

Y<0 Þ½y½=y

X<y Þ x-y<0 Þ½x-y½=-(x-y)=-x+y dir

Öyleyse, Öx2+Öy2-Ö(x-y)2 =½x½+½y½-½x-y½=-x+y+x-y=0 bulunur

Örnek: 3<x<4 ise Öx2-8x+16 +Öx2-6x+9 -½3-x½işleminin sonucunu bulunuz

Çözüm: Öx2-8x+16 =Ö(x-4)2 =½x-4½, Öx2-6x+9 =Ö(x-3)2 =½x-3½ tür

X<4 Þ x-4<0 olup ½x-4½=-x+4 ve

x>3 Þ x-3>0 olup ½x-3½=x-3 olur

x>3 Þ½3-x½=-3+x tir

Öx2-8x+16 +Öx2-6x+9 -½3-x½=½x-4½+½x-3½-½3-x½=-x+4+x-3-(-3+x)

=1+3-x=4-x bulunur

KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

Kareköklü ifadeleri toplamak veya çıkarmak için kök içindeki terimler benzer olmalıdır Benzer olan terimlerin kat sayıların toplamı veya farkı, o terimlere kat sayı olarak yazılır

aÖb -cÖb +dÖb =Öb(a-c+d) olur

Örnekler:

1 3Ö3-4Ö3+7Ö3=(3-4+7)Ö3

2 Ö75 -2Ö48 -3Ö27 =2Ö253 -2Ö163 -3Ö93 =25Ö3 -24Ö3 -33Ö3

=10Ö3 -8Ö3 -9Ö3 =(10-8-9)Ö3 =-7Ö3

3 Ö5/3+2Ö5-3Ö5/2 =(1/3+2-3/2)Ö5 =(2+12-9/6)Ö5 =5/6Ö5

EŞLENİK İFADELERİN ÇARPIMI

a,bÎR+ için

1 Öa nın eşleniği Öa dır

2 Öa +Öb nin eşleniği Öa-Öb dir

Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden her birine diğerinin eşleniği denir Eşlenik iki ifadenin çarpımı, birinci terimin karesinden ikinci terimin karesinin farkına eşittir Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılırsa,

(Öa+Öb)(Öa-Öb)=Öa(Öa-Öb)+Öb(Öa-Öb)=a-Öab +Öab –b=a-b olur

Örnek:

1 (Ö5 -2Ö3)(Ö5 +2Ö3)= Ö5(Ö5 +2Ö3)-2Ö3(Ö5 +2Ö3)=5+2Ö15 -2Ö15 -43=-7

2 (4+2Ö7)(4-2Ö7)=42-(2Ö7)2=16-28=-12

3 (x+Ö5)(x-Ö5)=(x2)-( Ö5)2=x2-5 olur

PAYDAYI RASYONEL YAPMA

Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin paydasını rasyonel yapmak için paydanın eşleniği ile pay ve paydayı çarparız

Örnek:

1 3/Ö3=3 Ö3/Ö3 Ö3=3Ö3/Ö32=Ö3

2 1/Ö5-Ö3=1( Ö5+Ö3)/ (Ö5-Ö3)( Ö5+Ö3)= Ö5+Ö3/(Ö5)2-(Ö3)2=Ö5+Ö3/5-3=Ö5+Ö3/2

3 7/2Ö2-1=7(2Ö2+1)/(2Ö2-1)(2Ö2+1)=7(2Ö2+1/(2Ö2)2-(1)2=7(2Ö2+1)/8-1=7(2Ö2+1)/7

=2Ö2+1

KAREKÖKLÜ BİR İFADENİN SADELEŞTİRİLMESİ

Örnek: (Öa3)6( Öa-3)4 ifadesini sadeleştiriniz

Çözüm: a-3=1/a3 yazılabileceğini biliyoruz(x-n=1/xn kuralına göre)

(Öa3)6( Ö1/Öa3)4=Öa18 Ö1/Öa12=Öa181/a12=Öa6=Ö(a3)2 =½a3½ bulunur

Örnek: Öab-3c-2 Öab5c3 ifadesini sadeleştiriniz

Çözüm: Öab-3c-2 Öab5c3 =Öa2b5c3/Öb3c2 =Öa2b2c =½ab½Öc bulunur

KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN ÇARPIMI

a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için ÖaÖb=Öab dir

Kareköklü iki terimin çarpımı, bu terimlerin çarpımının kareköküne eşittir

Örnek:

1 Ö3 Ö5 =Ö35 =Ö15

2 2Ö3 3Ö2 =(23) Ö32 =6Ö6

3 Ö3 Ö6 Ö2 =Ö362 =Ö36 =6

KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN BÖLÜMÜ

a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için Öa/Öb =ÖA/B dir

Kareköklü iki terimin bölümü, bu terimlerin bölümünün kareköküne eşittir

Örnek:

1 Ö60 /Ö15 =Ö60/15 =Ö4 =2

2 Öx7/Öx5=Öx7/x5 =Öx2 =½x½

3 Ö21/Ö7 =Ö21/7=Ö3

KAREKÖKLÜ BİR TERİMİN n KUVVETİ

Kareköklü bir terimin “n” Kuvveti bulunurken, verilen ifadenin karekökü alınarak terimin “n” Kuvveti bulunur ve ele edilen terimin karekökü alınır

xÎR+ ve n ÎZ+ olmak üzere, (Öx)n=Öxn ir

İspat: xÎR+, nÎZ+ için Öx in “n” Kuvveti,

(Öx)n=Öx Öx Öx…Öx=Öxxx…x =Öxn olur

Örnek:

1 (Ö5)4=Ö54=Ö(52)2=52=25

2 (Ö3)3( Ö6)5=Ö33 Ö65 =Ö33(23)5 Ö332535 =Ö3825

=Ö(34)2(22)22=3422 Ö2 =324Ö2

3 (Ö1/2)-4=Ö1/2-4 =Ö24 =Ö(22)2 =22 =4

REEL SAYILARIN RASYONEL KUVVETİ

Tanım: a³0 reel sayısı verilsin n ÎZ+ için xn=a olacak şekilde bir xÎR+ sayısı varır

Bu sayıyı a nın “n” Kuvvetten kökü denir ve xn =a Û x=nÖa biçimine gösterilir

x2=m eşitliğini gerçekleyen x=Öm değerine, karekök m,

x3=m eşitliğini gerçekleyen x=3Öm değerine, küpkök m,

x4=m eşitliğini gerçekleyen x=4Öm değerine, 4 dereceden kök m denir

Şimdide nÖam biçimindeki bir ifadeyi üslü şekle yazalım m=kn alalım:

nÖam =nÖank =nÖ(ak)n =ak dır

m=kn Þk=m/n dir ak da k yerine m/n yazalım ak =am/n bulunur O halde, nÖam=am/n dir

örnek:

1 Öx =x1/2

2 3Öx2 =x2/3

3 4Ö(x+y)3 =(x+y)3/4

köklü bir terimi üslü biçimde yazarken, terimin üssü pay, kökün derecesi payda alınarak elde edilen rasyonel sayı verilen terime üs olarak yazılır

xn=a denkleminde n tek doğal sayı ise çözüm kümesi: x=nÖa dir

xn=a denkleminde n çift doğal sayı ise çözüm kümesi: x=±nÖa dır

öyleyse, x=nÖa ifaesi,

1 n tek doğal sayı ve x reel sayıdır

2 n çift doğal sayı ve a³0 ise x reel sayıdır

3 n çift doğal sayı ve a<0 ise x reel sayı değildir

7Ö-128, 3Ö-27, 5Ö-1 sayıları reel sayıdır

Ö25, 4Ö16, 4Ö8 sayıları reel sayılardır

Ö-1, Ö-4, Ö-9 sayıları reel sayı değildir

KÖKLÜ BİR TERİMİN KUVVETİ

nÖa gibi köklü bir terimin “m” Kuvveti, (nÖa)m = nÖanÖanÖa…nÖa = nÖaaa…a =nÖam olur

Öyleyse, (nÖa)m = nÖam dir

Örnek:

1 (3Öxy)2 =3Ö(xy)2 =3Öx2y2

2 (3Öa)4=3Öa4 =3Öa3a=a3Öa (nÖanb=anÖb dir )

3 (5Ö4)3 =5Ö43=5Ö(22)3 =5Ö26=5Ö252 =25Ö2

KÖKLÜ BİR TERİMİN KÖKÜ

Bir terimin “m” Kuvvetten kökünün tekrar “n” Kuvvetten kökü, bu terimin (mn) inci kuvvetten köküne eşittir nÖx in tekrar “m” Kuvvetten kökü: mÖnÖx =mnÖx dir Bu eşitliğin doğruluğunu gösterelim:

mÖnÖx=(nÖx)1/m =nÖx1/m =(x1/m)1/n =x1/mn =mnÖx olur

Öyleyse, mÖnÖx =mnÖx tir

Örnekler:

1 3Ö4ÖÖa3 =3Ö42Öa3 =3Ö8Öa3 =24Öa3 =8Öa

2 4Ö5Ö53Ö52 =423Ö(52)35352 =24Ö565352 =24Ö511 bulunur

KÖKLÜ İFADELERİN ÇARPILMASI

Kök kuvvetleri aynı olan ifadelerin çarpımı, bu ifadelerin çarpımının aynı kuvvetten köküne eşittir

Teorem: a,b ÎR+ ve n ÎN+ ise nÖanÖb =nÖab dir

İspat: nÖanÖb =nÖab dir eşleniğinin her iki yanının n Kuvvetini alalım

(nÖanÖb)n =(nÖab)n Þ(nÖa)n(nÖb)n =ab ve (nÖab)n =nÖanbn =ab dir

Örnek: 3Ö2a 3Ö4a2 işleminin sonucunu bulunuz

Çözüm: 3Ö2a3Ö4a2 =3Ö2a4a2 =3Ö8a3 =3Ö23a3 =3Ö(2a)3=2a dır

Teorem: x,y ÎR+, m,n,k ÎZ+ olmak üzere 1 nÖxm =nkÖxmk 2 nÖxm=n/kÖxm/k

3mÖxnÖy=mnÖxnmnÖym=mnÖxnym 4 mÖx/nÖy=mnÖxn/mnÖym=mnÖxn/ym dir

kök kuvvetleri farklı olan köklü ifadeleri çarpmak için önce kök kuvvetleri eşitlenir sonra çarpma işlemi yapılır

KÖKLÜ İFADELERİN BÖLÜNMESİ

Kök kuvvetleri aynı olan köklü iki ifadenin bölümü, bu ifadenin bölümlerinin aynı kuvvetten köküne eşittir

Teorem: a,b ÎR+ ve nÎN+ ise nÖa/nÖb =nÖa/b ir

İspat: her iki tarafın n Kuvvetten kökünü alalım:

(nÖa/nÖb)n =(nÖa/b)n Þ (nÖa)n/(nÖa)n =a/b Þa/b=a/b dir

örnek:

1 Ö18a5/Ö2a3 =Ö18a5/2a3 =Ö9a2 =3a dır

2 3Ö54a4b5/3Ö2ab2 =3Ö54a4b5/2ab2 =3Ö27a3b3 =3ab dir