Kümeler, Çeşitleri Ve Özellikleri

A TANIM

• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir

• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir

• Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir a elemanı A kümesine ait ise, a A biçiminde yazılır “ a, A kümesinin elemanıdır” diye okunur b elemanı A kümesine ait değilse, b A biçiminde yazılır “ b, A kümesinin elemanı değildir” diye okunur

• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır

• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez

• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir

B KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir

1 Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır

A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür

2 Ortak Özelik Yöntemi

Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir

3 Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

C EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C D

biçiminde gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

D BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir

Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir

{} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

E ALT KÜME - ÖZALT KÜME

1 Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A B biçiminde gösterilir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir B A biçiminde gösterilir

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C D biçiminde gösterilir

2 Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir

3 Alt Kümenin Özelikleri

I) Her küme kendisinin alt kümesidir

A A

II) Boş küme her kümenin alt kümesidir

A

III) (A B ve B A) A = B dir

IV) (A B ve B C) A C dir

V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir

VI) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n r) alt kümelerinin sayısı

F KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

1 Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir

A B = {x : x A veya x B} dir

2 Birleşim İşleminin Özelikleri

I) A = A

II) A A = A

III) A B = B A

IV) A (B C) = (A B) C

V) A B ise, A B = B

VI) A B = ise, (A = ve B = ) dir

3 Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir

A B = {x : x A ve x B} dir

4 Kesişim İşleminin Özelikleri

I) A =

II) A A = A

III) A B = B A

IV) (A B) C = A (B C)

V) A (B C) = (A B) (A C)

VI) A (B C) = (A B) (A C)

G EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir Evrensel küme genellikle E ile gösterilir

H BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da Aı ile gösterilir

= {x : x E ve x A, A E} dir

Tümleyenin Özelikleri

I KUVVET KÜMESİ

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir

J İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir

A – B = {x : x A ve x B} dir

Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

K ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

I) s(A B) = s(A) + s(B) – s(A B)

II) s(A B C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A B) – s(A C) – s(B C) + s(A B C)

III) s(A B) = s(A – B) + s(A B) + s(B – A)

IV) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T V) = b olsun

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T V) = a + b + c dir

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c dir

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a dır

Tenis oynamayanların sayısı:

dir

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T V) = a + b + c dir

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

dir

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:



dir