Harfli İfadeler, Benzer Terim Ve Terim

HARFLİ İFADELER VE ÇARPANLARA AYIRMA

A ) HARFLİ İFADELER

5a, пr², 3x, x², 2y, (a-b), x²y², x+y-z, gibi ifadelere harfli ifadeler denir KATSAYI : 3x²y türü bir ifadede 3 e katsayı denir

TERİM

Harfli ifadelerde eksi ( - ) veya artı ( + ) işaretleriyle birbirinden ayrılan kısımlara terim denir

BENZER TERİMLER

Harfleri ve harflerin kuvvetleri ( üssü ) aynı olan ifadelere benzer terimler denir Örneğin ; 5x ile 7x -2x² ile 5x² 4a ile -3a

B ) HARFLİ İFADELERDE DÖRT İŞLEM

TOPLAMA VE ÇIKARMA
Harfli ifadelerde toplama veya çıkarma yapılırken benzer terimlerin katsayıları toplanır, benzer terimin harf kısmı aynen yazılır Örnek 1: 3a²b ? a²b + 4a²b + a²b = ( 3 - + 4 + 1 ) a²b = ( - + - ) a²b = a²b Örnek 2 : 2x²y + 3xy² + 5x²y - xy² = ( 2 + 5 ) x²y + ( 3 ? 1 ) xy² = 7x²y + 2xy²

ÇARPMA

Çarpma yapılırken, katsayılar çarpılır katsayı olarak yazılır Aynı harflerin üsleri toplanır harfe üs olarak yazılır Aynı olmayan harfler ise aynen yazılır

Terimleri harflerden oluşan ifadelere verilen ad

Örnek

ax2 + bx + c, 6a, 5b + c

gibi ifadeler harfli ifadedir

Bir harfli ifadede harfler ve harflerin üsleri aynı olan ifadelere benzer terimler denir

Harfli İfadelerle Toplama ve Çıkarma İşlemleri:

Harfli ifadeler toplanırken (çıkartılırken), benzer terimlerin kat sayıları toplanır (çıkartılır) ve bulunan toplamın (farkın) yanına, benzer terim çarpan olarak yazılır

Örnek 1:

5a - 3a = (5 - 3)a = 2a

Harfli İfadelerle Çarpma İşlemi:

Harfli ifadeler çarpılırken

1Kat sayılar çarpılır ve bulunan sayı, çarpımın kat sayısı olarak yazılır

2Tabanları aynı olan terimler çarpılırken; terimlerin üsleri toplanır ve aynı harfe üs olarak yazılır

3Çarpılan terimlerde farklı harfler varsa, bunlar çarpıma aynen yazılır

Tek Terimli Bir Harfli İfadenin Çok Terimli Bir Harfli İfadeyle Çarpımı:

Bu işlem yapılırken çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma özeliği kullanılır

İki Çok Terimli Harfli İfadenin Çarpımı:

Bu işlem yapılırken çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma özeliği kullanılır

Örnek:

(x - y)(x + y) = x(x + y) - y(x + y)= x2 + xy ? yx ? y2

= x2 ? y2

Tek Terimli Harfli İfadelerle Bölme İşlemi:

1 Harfli ifadeler bölünürken payın kat sayısı paydanın kat sayısına bölünür ve bulunan sayı, bölümün kat sayısı olarak yazılır

2 Tabanları aynı olan terimler bölünürken; payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve aynı tabana üs olarak yazılır

3 Tabanları farklı ifadeler bölünürken; sonuca pay ve payda olarak aynen yazılır

Harfli ifadeler

4a, 2(x ? y), x2, a + b + 3c gibi ifadelere harfli ifadeler denir

* 3x2y ifadesinde 3 ya da 2'ye katsayı denir

* Harfli ifadelerde, eksi (?) veya artı (+) işaretleriyle birbirinden ayrılan kısımlara terim denir

* Harfleri ve harflerin kuvvet (üs)leri aynı olan terimlere de benzer terimler denir

Harfli İfadelerde İşlemler

1)TOPLAMA İŞLEMİ

Harfli ifadelerde toplama işlemi yapılırken, benzer terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır Diğer terimler aynen yazılır

ÖRNEK:5x-6y=20 ve 3x+3y=12 ÇÖZÜM:

5x-6y ve (45)-6y=20

(2)3x+3y 20-6y=20

=5x+6x=44 -6y=0

11x=44 y=5

x=4

2 Çıkarma işlemi

Harfli ifadelerde çıkarma işlemi yapılırken 1 benzer terimlerin katsayıları çıkartılıp sonuç olan katsayılar benzer terimlerle birleştirilip yazılır 2 benzer olmayan sayılar ve katsayılar aynen yazılır Böylece çıkarma işleminin sonuna gelmiş oluruz işlemi benzer terimlerle ve diğer sayılarla bir bütün oluştururlarYani işlemin son aşaması bizi sonuca götürür Eğer işlemde toplama,çarpma ve bölme varsa bütün işlemler bir arada yapılır ve çıkanı sonuş olarak kabul ederiz

3 Çarpma İşlemi

Harfli ifadelerde çarpma işlemi yapılırken, önce katsayılar kendi aralarında çarpılır Sonra aynı harflerin üsleri toplanır farklı harfler ise aynen yazılr

ÖRNEK : 3a5y x 4z8y2 = (3 x 5 x 8 x 4) x ay3z = 480ay3z İKİ

İKİ KARE FARKI

a²-b²=(a-b)(a+b) şeklinde yazılır

iki kare toplamı [değiştir]

a²+b²=(a-b)+2ab şeklinde yazılır

ÇARPANLARA AYIRMA

A ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır

B ÖZDEŞLİKLER

1 İki Kare Farkı - Toplamı

1) a2 ? b2 = (a ? b)(a + b)

2) a2 + b2 = (a + b)2 ? 2ab

3) a2 + b2 = (a ? b)2 + 2ab

2 İki Küp Farkı - Toplamı

1) a3 ? b3 = (a ? b)(a2 + ab + b2 )

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 ? ab + b2 )

3) a3 ? b3 = (a ? b)3 + 3ab(a ? b)

4) a3 + b3 = (a + b)3 ? 3ab(a + b)

3 n Dereceden Farkı - Toplamı

1) n bir sayma sayısı olmak üzere,

xn ? yn = (x ? y)(xn ? 1 + xn ? 2y + xn ? 3 y2 + + xyn ? 2 + yn ? 1) dir

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

xn + yn = (x + y)(xn ? 1 ? xn ? 2y + xn ? 3 y2 ? ? xyn ? 2 + yn ? 1) dir

4 Tam Kare İfadeler

1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2) (a ? b)2 = a2 ? 2ab + b2

3) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

4) (a + b ? c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab ? ac ? bc) n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere,

? (a ? b)2n = (b ? a)2n

? (a ? b)2n ? 1 = ?(b ? a)2n ? 1 dir

? (a + b)2 = (a ? b)2 + 4ab

5 (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir

(a ? b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (?) işareti konulur ? (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

? (a ? b)3 = a3 ? 3a2b + 3ab2 ? b3

? (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

? (a ? b)4 = a4 ? 4a3b + 6a2b2 ? 4ab3 + b4

? a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 ? a + 1)

? a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 ? 2a + 2)

? a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 ? 2ab + 2b2)

a3 + b3 + c3 ? 3abc =

(a + b + c)(a2 + b2 + c2 ? ab ? ac ? bc)

C ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır Biz burada ikisini vereceğiz En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız

1 YÖNTEM

1 a = 1 için,

b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2 a ¹ 1 İken

m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax2 + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir

2 YÖNTEM

Çarpımı a × c yi,

toplamı b yi veren iki sayı bulunur

Bulunan sayılar p ve r olsun

Bu durumda,daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır