Cebirin Temel Teoremi

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır

Teoremin açık bir ifadesi şöyledir:

Katsayıları karmaşık olan ve sabit olmayan tek değişkenli her polinomun en az bir (karmaşık) kökü vardır

Sonuç olarak, katsayıları tamsayı, rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar cismi olan mathbb{C} 'de çarpanlarına ayrılabileceği görülebilir; yani daha doğru bir şekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir Polinom bu son anlatılan şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir şekilde yapılabilir Matematiksel bir dille şu ifade edilmektedir: Eğerise ve

n dereceli bir polinomsa,

eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin olacağı açıktır Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir

Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği cebir kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır

Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha bir çok teoremin kanıtında kullanılmaktadır

Teoremin dengi ifadeleri
Cebirin temel teoreminin birbirine denk olan değişik ifadeleri mevcuttur:

Bunlardan ilki yukarıda da verilen ifadedir: ---Sabit olmayan ve katsayıları karmaşık olan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır

Örneğin, 1+i karmaşık sayısı X4 + 4 polinomunun bir köküdür Bu halde, teorem P(X) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır Katsayılarını bir F cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu F cismi içinde bir kökü varsa, F cismine cebirsel kapalı cisim adı verilir Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:

C cismi cebirsel kapalı bir cisimdir

Bu sonuç, aynı zamanda bir polinomun bölünmesi bağlamında da, yani karmaşık katsayılı çarpanlarının çarpımına eşit olması anlamında da ifade edilebilir:

Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir

Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı anXn + + a1X + a0 şeklindeki polinomların an(X - α1)(X - αn) halinde de yazılabileceğini işaret eder Burada, 1'den k'ye kadar değişen her αk polinomun bir köküdür Burada, farklı k'ler için αk'ler eşit olabilir Bu durumda, αk'ye katlı kök adı verilir

Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:

Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır
Gerçel katsayılı indirgenmez polinomlar ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden diskriminantı kesin negatif olan polinomlardır (yani aX2 + bX + c ve a
e 0 halinde yazılabilen ve koşulunu sağlayan polinomlar)
Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir

Devamı ve ayrıntılar için tıklayın