Üçgen Geometrisi

Üçgen Geometrisi

* Eşkenar üçgen
* İkizkenar üçgen
* Dik üçgen
* Kenarortay
* Açıortay
* Pisagor teoremi
* Öklid Bağıntıları

* Eşkenar üçgen
Tüm kenarları birbirine eşit olan bir kenarı 60 derece, iç üç açılarının toplamı 180 ve dış açılarının toplamı ise 360 derecedir

* h=
* çevre

kenarları birbirine eşittir

* İkizkenar üçgen
İki kenarı birbirine eşit olan çokgenlerdir İç açıları toplamı 180°'dir

İkizkenar üçgen

Özellikleri
* İkizkenar üçgende ikizkenarlara ait yükseklikler eşittir
* İkizkenar üçgende üçüncü kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara inilen dikmelerin toplam uzunluğu , eş kenarlara köşelerden inilen yüksekliklerin uzunluğuna eşittir
* İkizkenar üçgende üçüncü kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralellerin toplam uzunluğu ikizkenarların uzunluğuna eşittir
* Üçüncü kenara ait yükseklik açıortay ve kenarortaydır

İkizkenar üçgende kosinüs teoremi

Bir ikizkenar üçgende a = b ve taban açıları eşit ve γ olduğu durumda c2 = a2 + b2 − 2abcosγ olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:

Dik üçgen

Dik üçgen, iç açılarından biri 90° olan üçgendir Çemberde çapı gören çevre açı 90°'dir

Dik Üçgenlerle İlgili Bağıntılar

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, herhangi bir dik üçgende kenarlar arasındaki bağıntıya verilen addır Bu bağıntıya göre, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir

pisagor bağıntısıda 90 derecenin karşısındaki kenara hipatenüs adı verilirhipotenüsün karesi diğer dik kenarların karesine eşittirtüm bu kenarlar toplanır ve karekökü alınır yani sonuç budur

Özel Dik Üçgenler

Açıya Göre

İkizkenar dik üçgen

45-45-90 Üçgeni

45-45-90 üçgeni bir ikizkenar dik üçgendir Üçgenin dik kenarları birbirine eşit ve hipotenüsü dik kenarların katıdır Oran aşağıdaki gibidir:

İspatı ise çok basittir Bir dik kenara 1 cm denilirse, ikizkenarlıktan dolayı diğer dik kenar da 1 cm olmak zorundadır Pisagor Teoremi'nden de hipotenüs çıkar

30-60-90 üçgeni ve ispatı

Açıları 30-60-90 olan bir dik üçgende hipotenüs, 30°'nin karşısındaki kenar ve 60°'nin karşısındaki kenar arasında sırasıyla aşağıdaki oran vardır:

Yani 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı ve 60°'nin karşısındaki kenar da 30°'nin karşısındaki kenarın katıdır İspatı ise eşkenar üçgen vasıtasıyla yapılır Kenarları 2 cm olan bir eşkenar üçgende köşeden indirilen dikme kenarı iki eş parçaya bölecektir Aynı zamanda da açıortay olacaktır Kenarortay olduğu için oluşan dik üçgenin alt dik kenarı 1 cm olacaktır Açıortay olduğu için de dik üçgenin bir açısı 30° olacaktır Eşkenar üçgenin bir kenarı, oluşan dik üçgenin hipotenüsü olacağından yapılacak Pisagor bağıntısı ile de indirilen dikme cm bulunacaktır

22,5-67,5-90 Üçgeni

Bu üçgende ise 22,5°'lik açının karşısındaki dik kenar 1 cm ise, 67,5°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur Yukarıda oluşacak ikizkenar üçgende de parçalanan kenarın diğer üst tarafı hipotenüse eşit olur Alt parçası da ikizkenar dik üçgenden dolayı 1 cm bulunacağından katı olur

15-75-90 Üçgeni

Bu üçgende 15°'lik açının karşısındaki kenar 1 cm ise 75°'lik kenarın karşısındaki kenar cm olur İspatı ise 22,5-67,5-90 üçgenindeki gibidir Tek farkı, 75°'lik açının 15° ve 60°'lik açılara bölünmesidir

Ayrıca bu üçgende hipotenüse indirilen dikme, hipotenüsün 14 katıdır

Kenarlara göre özel dik üçgenler genelde okullarda soru yazılırken işlem kolaylığı sağlamak amacıyla kullanılır Bazı özel üçgenler şunlardır:

3:4:5,

6:8:10,

5:12:13,

8:15:17,

725,

20:21:29,

Bu üçgenlerin kenar uzunlukları aynı oranda artırılarak yine uygun dik üçgenler elde edilebilir (örneğin, 3-4-5 ve 6-8-10)

Ayrıca herhangi bir tek sayıyı kenar uzunluğu olarak belirlersek karesinin ardışık toplamları da diğer iki kenarı verecektir Örnek olarak; 7=>7'nin karesi 49=25+24 7,25,24 şeklinde özel bir dik üçgen vardır 9=>9'un karesi 81=40+41 9,40,41 şeklinde özel bir dik üçgen vardır Ve dik üçgende kenarların tamsayı olduğu koşulda, en kısa kenarı tek sayı ise kalan kenarların bu kurala uyması şarttır

Kenarortay
Bir üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortayı denir Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir O nokta G harfi ile adlandırılır
Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı 2'ye 1 oranında böler Yani bir üçgende köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
| AG | = 2 | GD |

Kenarortay Teoremi

Bir üçgende kenarortayın uzunluğunu bulmak için;
bağıntısı kullanılır

Yukarıdaki teoremi tüm kenarortaylar için alıp, taraf tarafa toplarsak, karşımıza;

bağıntısı çıkar

Dik Üçgende Kenarortay

Muhteşem üçlü

Muhteşem Üçlü
Bir dik üçgende A noktasından hipotenüse ait çizilen kenarortay doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir:

Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylarının karelerinin toplamı Hipotenüse ait kenarortayın karesinin 5 katıdır:

Dik Kesişen Kenarortaylar

Eğer bir üçgende herhangi iki kenarortay dik olarak kesişiyorsa bu bağıntılar ortaya çıkar:

Vb ve Vc dik kesişen kenarortaylar olmak üzere;

Açıortay

Bir üçgende açıortay

Açıortay, geometride bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen doğru parçasıdır Bir açıya teğet tüm çemberler çizilerek merkezleri birleştirilirse, o açının açıortayı elde edilir Bu nedenle açıortaylardan açının kollarına indirilen dikmeler, o çemberlerden birinin merkezinden teğetlere inilen yarıçap dikmeleri olacağından, dikmeler birbirine eşit olur Her iki kolda oluşan üçgenler de birbirine eşit olacağından, dikmelerin açıortay kollarını kestiği noktalar ile açının bulunduğu köşeye olan uzaklıklar eşit olur

Üçgende İç Açıortay

Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir Bu noktanın iç teğet çemberi olmasının sebebi ise,iç açıortayların kesişim noktasından kenarlara inilen dikmelerin birbirine eşit olmasıdır (Çemberde merkezden teğetlere çizilen doğru parçaları teğete diktir ve hepsi yarıçaptır)

Bir üçgende açıortayla ilgili iki önemli bağıntı vardır Bunlardan birisi açıortay teoremidir Bu teorem bir tür orandır Bu teoreme göre üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranına eşittir

Bu teoremin yanında diğer teorem ise açıortay uzunluğu teoremidirBuna göre:

| AD | 2 = | AB | | AC | − | CD | | DB |

Pisagor teoreminin animasyonlu geometrik kanıtı
Pisagor teoremi
Pisagor teoremine göre bir diküçgende dik kenarın yani hipotenüsün bir kenarını oluşturduğu karenin alanı diğer iki dik kenarın birer kenar olarak oluşturdukları karelerin alanları toplamına eşittir:

c uzunluğu hipotenüstür a ve b uzunlukları ise dik kenarlardır Her kenardan birer kare oluşturulur Bu karelerin alanları, kare alan formülüne dayalı olarak, şeklinde sıralanır Böylece üç karenin köşelerinin birleşiminden oluşan bir dik üçgen oluşturulur Oluşan üçgenin dik köşesinden hipotenüsün oluşturduğu karenin, hipotenüse paralel olan kenara indirilen dikme ile üçgen içerisinde Öklid bağıntısı kurulur (öklid bağıntısı benzerlikten ispatlanabilmektedir) Öklide göre

yani, dik kenarlardan birinin karesi, dik açıdan hipotenüse indirilen dikmenin ayırdığı parçalardan kendisine komşu olan tarafın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının çarpımına

olacaktır Yani a kenarına ait karenin alanı, hipotenüse ait alanın dik açıdan indirilen dikmeyle ikiye ayırdığı alanlardan kendisine komşu olan alana eşit olacaktır Bu durumu diğer kenar için de düşünürüz

olacaktır Bunu takiben,

devamı aşağıda

olacaktır

Matematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir Teorem sonradan İÖ 6 YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler

Pisagor teoreminin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir

Sayısal Örnekler

En yaygın olarak karşılaşılan örneklerden biri "3-4-5" üçgenidir

Bu, komşu kenarları sırasıyla 3 birim, 4 birim ve karşı kenarı 5 birim olan bir dik üçgeni temsil eder

Diğer örnekleri ise 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41

Pisagor teoremi bir dik açı oluşturmak adasdas

Şöyle ki:

1) Yeterli uzunlukta bir halatı(ya da ipliği) eşit 12 parçaya ayıracak şekilde işaretleyin

2) Bu işaretlerden 3 ve 5 (3+5) noktalari sabitleyip, ipin açıkta kalan iki ucunu (gergin olacak şekilde) birleştirin

3) 3 işaretin bulunduğu noktada bir dik açı elde edersiniz

Bu yöntemin geçmişte tarım alanlarının paylaşılması, arazi sınırlarının belirlenmesi gibi alanlarda kullanıldığı bilinmektedir



Pisagor bağıntısı görsel açıklaması

Öklid geometrisi

Öklid'in beş aksiyomu şunlardır:

1 İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer

2 Bir doğru parçası iki yöne de sınırsız bir şekilde uzatılabilir

3 Merkezi ve üzerinde bir noktası verilen bir çember çizilebilir

4 Bütün dik açılar eşittir

5 Bir doğruya dışında alınan bir noktadan bir ve yalnız bir paralel çizilebilir

Yükseklik bağıntıları

Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik uzunluğunun karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı 2 kenarın çarpımına eşittir Denklemi hh=kp şeklindedir

Dik Kenar bağıntısı

Bir dik üçgende bir dik kenarın uzunluğunun karesi, bu kenarın hipotenüs üzerindeki dik izdüşümü ile hipotenüs uzunluğunun, çarpımına eşittir Bu bağıntıya Öklid’in Dik Kenar Bağıntısı denir

Özellikleri

* | h | 2 = pk

* | b | 2 = ka

* | c | 2 = pa

* 1/h=1/b+1/c

* bc=ha (büyük dik üçgenin alan hesabından)