Parabol Nedir ?

PARABOL NEDİR?

A TANIM: a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir

B PARABOLÜN TEPE NOKTASI

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

r=-b/2a ve k=f( r) =4ac-b2/4a dır

Ü Parabol x= -b/2a doğrusuna göre simetriktir

X=-b/2a doğrusu parabolün simetri eksenidir

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin

tepe noktası T(r, k) dır

C GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde

* D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser
* D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez
* D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir

D x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır

a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır

2) |a| büyüdükçe kollar daralır Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür

|a| büyüdükçe kollar daralır Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir

E GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1 Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) (1) dir

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır

2 Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k (1) dir

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır

3 Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c (1)

y2 = ax22 + bx2 + c (2)

y3 = ax32 + bx3 + c (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz

F PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 (*)

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir

Buna göre, (*) denkleminde;

* D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser
* D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez
* D = 0 ise, parabol doğruya teğettir

Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır