Asal Sayılar...

Asal Sayılar


Birden ve kendisinden başka sayıya bölünmeyen sayılara asal sayı denir Örneğin 17 asaldır, çünkü 1 ve 17?den başka sayıya (tam olarak) bölünmez Öte yandan 35 asal değildir, 5?e ve 7?ye bölünür Teknik nedenlerden 1 asal kabul edilmez

100?den küçük asalları bulmak pek zor değildir İşte o asallar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Demek ki 100?den küçük 25 tane asal varmış Yani 100?den küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığı 1/4?tür

Matematiksel kanıtlar arasında bir güzellik yarışması yapılsa, Öklid?in (MÖ 300) ?sonsuz tane asal sayı vardır? önermesinin kanıtı hiç kuşkusuz ilk on sırada yer alırdı Bu teorem Öklid?in ünlü Öğeler adlı yapıtının dokuzuncu cildinde kanıtlanır Öklid?in teoreminin güzelliğinin göklere çıkarılmadığı ve kanıtlanmadığı popüler matematik kitabı yok gibidir Birazdan bu güzel teoremi ? ve çok daha fazlasını ? kanıtlayacağız

Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarız? Sayımıza n diyelim n?yi n?den küçük sayılara bölmeye çalışalım Eğer n?den küçük, 1?den büyük bir sayı n?yi tam bölüyorsa, n, tanımı gereği, asal olamaz Öyle bir sayı bulamazsak, n asaldır

Ne var ki bu yöntemle büyük sayıların asallığına karar vermek çok zaman alır Bu yöntem ve çeşitlemeleri dışında bir sayının asallığına karar verebilecek genel bir yöntem de bilinmemektedir Örneğin, şu çeşitleme düşünülebilir: n?yi n?den küçük her sayıya böleceğimize, n?yi n?den küçük sayılara bölmeye çalışabiliriz Çünkü n = ab ve a  n ise, b  n?dir Dolayısıyla n asal değilse, n?den küçük bir sayıya bölünür Böylece yapmamız gereken bölme sayısı azalır Bir başka kolaylık da şöyle sağlanabilir: n?nin asal olup olmadığına karar vermek için n?yi n?den küçük her sayıya bölmeye çalışacağımıza, n?den küçük asallara bölmeye çalışmamız yeterlidir Bu birazdan kanıtlayacağımız birinci teoremden çıkar Böylece, n?nin asallığına karar vermek için yapmamız gereken bölme sayısı daha da azalır Öte yandan bu yöntemi kullanabilmek için n?den küçük asalları bilmek gerekir Bu asalları bildiğimizi varsaysak bile, bölme sayısı gene de büyük sayılar için çok fazladır Örneğin, n = 100000000001?in asal olup olmadığını anlamaya çalıştığımızı varsayalım bir an Eğer n asal değilse ve küçük bir asala (örneğin 97?ye) bölünebiliyorsa, n?nin asal olmadığına oldukça çabuk karar veririz Ama ya n asalsa ya da küçük bir asala bölünmüyorsa? Onbinlerce bölme işlemi yapmamız gerekecek

Yukarda açıkladığımız yöntem Yunanlı matematikçi Eratosthenes tarafından MÖ 3 yüzyılda bulunmuştur Bu yöntemle 50 rakamlı bir sayının en gelişmiş bilgisayar yardımıyla asal olup olmadığını anlamak trilyonlarca yıl alır Yaşam gerçekten kısa!

Bazı özel sayıların asallığına karar vermek için özel yöntemler geliştirilebilir