Bölme Ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme ve Bölünebilme

A BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,
bölme işleminde,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir
• A = B C + K dır
• Kalan, bölenden küçüktür (K < B)
• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir
• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir

B BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1 2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür
Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir

2 3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir

3 4 İle Bölünebilme
Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir
abc sayısının 4 ile bölümünden kalan
c + 2 b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir
4 5 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir

5 7 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan-1 a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
k Î Z olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + = 7k
olmalıdırÜ Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir
6 8 İle Bölünebilme
Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür
3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünürÜ Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 b + 4 a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir
7 9 İle Bölünebilme
Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir

8 10 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır

9 11 İle Bölünebilme
(n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için
(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) = 11 k
ve k Î Z olmalıdır
® (n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan
(a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür

• 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür
• 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür

C BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun

Buna göre,

• A B nin C ile bölümünden kalan K1 K2 dir
• A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir
• D A nın C ile bölümünden kalan D K1 dir
• AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur


D ÇARPANLAR İLE BÖLÜM


Bir A doğal sayısı B C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B C ile tam bölünür) her zaman doğru değildir

• 144 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür
• 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür Fakat 6 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünemez

E BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir
a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am bn ck olsun

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) (n + 1) (k + 1) dir
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2 (m + 1) (n + 1) (k + 1) dir

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur
• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir
• A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

• A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: