Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı

Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı
ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız

A TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir

C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir

( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir)

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir

Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür

Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur


Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım

Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir

Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 415 = -16 = 16i²

X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir

2a 21 2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir


B İ ‘NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i,

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır

Buna göre , n Î N olmak üzere,

i4n = 1

i4n + 1 = i

i4n + 2 = -1

i4n + 3 = -i dir

Örnek:
( i14 + i15 + 1 )( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım

Çözüm:
i14 = (i4)3i2 = 13(-1) = -1

i15 = (i4)3i3 = 13(-i) = -i

i99 = (i4)24 i 3 = 124(-i) = -i

i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,

(i24 + i15 + 1)(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1)(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir

C İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir

Z1 = a + bi } olsun Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir

Z2 = c + di }

Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

Z 2 = 8 + (a + b)i

Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım

Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

a + 3 = 8 Þ a = 5

2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir

Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

Z2 = 0

Z1 = Z2 olduğuna göre, ab değerini bulalım

Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,

a – 2 = 0 Þ a =2,

a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir

O halde, ab = 2(-5) = -10 dur


D BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir

Örnek:
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,

3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir

Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,

3 Z – 1 = 2(4 – i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım

Çözüm:
3 Z – 1 = 2(4 – i)

3 (a – bi) – 1 = 8 – 2i

3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir

3a – 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve

-3b = -2 Þ b = 2/3 tür

O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not: 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır

E KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır )

Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )

Þ

Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )

Örnek:
Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,

Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i

Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i

2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır

Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun

Z1 Z2 = ( a + bi )( c + di)

= ac + adi + bic + bdi2 , ( i2 = -1 )

= ac – bd + ( ad + bc )i

Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 Z1 = ( a + bi)( a – bi )  Z1 Z1 = a2 + b2 dir

Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun
a) Z1 Z2
_
b) Z1 Z1

c) (Z2)2 işlemlerini yapalım
Çözüm:

a) Z1 Z2 =( 2 – i ) ( 3 + 2i)

= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir

b) Z1 Z1 = ( 2 – i )( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir

c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 232i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir

Örnek:
( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 21i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2( -1 )i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25i = 32i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210i2 = -210

3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun

Z1 a + bi ( a + bi )( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i

Z2 c + di ( c + di )( c – di ) c2 + d2

Örnek:
Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun

Z1 4 – 3i ( 4 – 3i )( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
 =  =  =  =  = 2 + i dir
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i )( 1 + 2i ) 12 + 22 5

Not:

1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,

1 1 a – bi
 =  =  dir
Z a + bi a2 + b2

_ _
2) Z1 Z2 Z1 Z2
 = 
Z3 z3

Örnek:

3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım

Çözüm:
3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,

1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25

Örnek:
1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım
1 – i 1 + i

Çözüm:
1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i )( 1 +i ) ( 1 – 2i )( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2

( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir
2 2


Örnek:
1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım
1 + i

Çözüm:
1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir
1 + i 12 + 12 2 1 + i

F KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ GÖRÜNTÜSÜ
1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir

2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır

3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür

Örnek:
Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,

1) Karmaşık düzlemde
2) Vektör uzayında gösterelim

Çözüm:

1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)


0 ree eksen 0
1 1

G BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
z mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir x a

Z = a + bi  Z=  a2 + b2 dir

Örnek:
Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim

Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i  Z

Z =  52 + 122
= 13 tür 0
5
Örnek:

Z = ( a + 2 ) + 3i
Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:
____________
Z= 5  ( a + 2 )2 + 32 = 5  ( a + 2 )2 + 32 = 52  ( a + 2 )2 = 16

olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür

a + 2 = 4  a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür
a + 2 = -4  a = -6 dır

H MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) Z= -Z= Z=-Z=iZ=-iZ=

2) Z1Z2= Z1Z2

3) Z1 Z1
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
Z2 Z2

4) Zn = Zn
_
5) Z Z = Z2

6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2

Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?
1 + i

Çözüm:

3 – 3i sayısının mutlak değeri,  32 + 32 = 32 dir

1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir O halde,

3 – 3i 32
Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür
1 + i 2

Örnek:

i2 = -1 olmak üzere,

Z1 = 2 + ni

Z2 = 1 + 2i
_______
Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?

Çözüm:

Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir

Z1 + Z2 = 5   32 + (n + 2)2 = 5  32 + (n + 2)2 = 52  (n + 2)2 = 42 olduğundan,

n + 2 = 4  n = 2 veya
n + 2 = -4  n = -6 dır n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2(-6) = -12 dir

Örnek:
i2 = -1 olmak üzere ,

1 - xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?
1 + xi
Çözüm:

Z10 = Z10 dur

1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir Buna göre,

1 - xi
Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir
1 + xi


1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir Yani,

Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir

2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidirforumsinsinet Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir

Örnek:
A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim

Çözüm:

Z = x + yi olsun, y

Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
3
 x + yi – 4 – 3i= 2

 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur

Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir

SORULAR

1) i = -1 olmak üzere

-2 -8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun
(-3)2
Çözüm:

-2 -8 + 1 -1 2 -18 + 1 i 2i22 + 1 4i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir
(-3)2 -3 3 3 3

2) i = -1 olmak üzere,

i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun

Çözüm:

i37 = (i4)9i1 = 19i = i ,

i-5 = i-5+8 = i3 = -i,

i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2(-i) – i = 2i


3) i2 = -1 olmak üzere,

2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1

Çözüm:

2x2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1

2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir
i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2

4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun
2 – i 2 + i

Çözüm:

1 1 2 + i + 2 - i 4
¾¾ + ¾¾ =¾¾¾¾¾ = ¾ tir
2 – i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 – i)

5) x < 0 olmak üzere,

Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

Çözüm:

Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x

Z =  -1(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)

Z = -1 x - 1 + x

Z = x + (1 – x)i bulunur

Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir

Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1


6) i = -1 olmak üzere,

Z1 = a + i

Z2 = 2 – i
______
Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?

Çözüm:

Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
______
Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
______
Z1 – Z2= 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 22  (a – 2) 2 = 0  a = 2


7) i = -1

i + 1
¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z

Çözüm:

i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 – i  Z = ¾¾  Z = ¾  Z = i
Z 1 - i 2
(1 + i)

Z2003 = i2003 = i3 = - i

8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i – 1)Z +iZ = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?

Çözüm:
_
(i – 1)Z +iZ = 2 – 3i  (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i  xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i

 -x + (2x + y)i = 2 – 3i

-x = 2  x = -2 ve 2x + y = -3  -4 + y = -3  y = 1

 Z = -2 + i ve Z = 5

9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2Z Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
Z - Z i

Çözüm:
_
Z = x + yi  Z = x – yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi

Z2 = (  x2 + y2 )2 = x2 + y2

ve Re(Z) – İm(z) = x – y

_
2Z Z + Z 2Z 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾  ¾¾¾¾ = ¾¾  (x + y)2 = 0  x – y = 0
Z - Z i Z - Z i


10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,forumsinsinet

Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x

Çözüm:

Z – 3i < Z + 3

x + yi – 3i < x + yi + 3

x + (y – 3)i < (x + 3) + yi

x2 + (y – 3)2 <  (x + 3)2 + y2

x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2

x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2

-6y < 6x

y > -x