Permutasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık

Permutasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık Konu Anlatımı

KOMBİNASYON

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)
(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır
(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittirforumsinsinet
(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,
(1 + 1)n = 2n bulunur
(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır
(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:
(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:


PERMÜTASYON

A SAYMANIN TEMEL KURALI

1 Toplama Kuralı
Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir
Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun


olmak üzere,


Sonuç

Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir

2 Çarpma Kuralı
2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir Benzer biçimde
(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü
(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü

(a1, a2, a3, , an) ifadesine sıralı n li denir
A ve B sonlu iki küme olsun
s(A) = m
s(B) = n
olmak üzere,
s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir
A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur

Sonuç
İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte
m × n
yolla yapılabilir


B FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir


Sonuç




C PERMÜTASYON (SIRALAMA)
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :



Sonuç
1 P(n, n) = n!
2 P(n, 1) = n


1 Dairesel (Dönel) Permütasyon
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir
Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n � 1)! ile bulunur

2 Tekrarlı Permütasyon
n tane nesnenin n1 tanesi 1 çeşitten, n2 tanesi 2 çeşitten, , nr tanesi de r çeşitten olsunforumsinsinet
n = n1 + n2 + + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,





OLASILIK

A OLASILIK TERİMLERİ
1 Deney
Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir
2 Sonuç
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır
3 Örnek Uzay
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir (Örnek uzaya evrensel küme de denir) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir
4 Olay
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir
5 İmkansız Olay
E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir
6 Kesin Olay
E örnek uzayına kesin (mutlak) olay denir
7 Ayrık Olaylar
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun
A Ç B = Æ ise A ve B olaylarına ayrık olaylar denir

B OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K olsun
P : K ® [0, 1]
şeklinde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A Î K ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı adı verilir
P fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar
1 Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir
2 Evrensel kümenin meydana gelme olasılığı, P(E) = 1 dir
3 İmkansız olayların meydana gelme olasılığı P(Æ) = 0 dır
4 A Î K, B Î K ve A Ç B = Æ ise, P(A È B) = P(A) + P(B) dir

Kural
E örnek uzayında herhangi iki olay A ve B; A nın tümleyeni A' olsun P olasılık fonksiyonu olmak üzere,
1 A Ì B ise P(A) £ P(B) dir
2 P(A') = 1 � P(A) dır
3 P(A È B) = P(A) + P(B) � P(A Ç B) dir


C EŞ OLUMLU ÖRNEK UZAY
Sonlu bir E = {e1, e2, e3, , en} örnek uzayı için,
P(e1) = P(e2) = P(e3) = = P(en)
ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir
E, eş olumlu örnek uzayı ve A Î E ise A olayının olasılığı,


dır

Kural

n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, bu deneyde örnek uzay 2n elemanlıdır


D BAĞIMSIZ OLAYLAR VE BAĞIMLI OLAYLAR
A ve B aynı örnek uzayına ait olaylar olsun Bu olaylardan birinin elde edilmesi diğerinin elde edilmesini etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir Eğer iki olay bağımsız değilse, bu olaylara birbirlerine bağımlıdır denir

Kural
A ve B bağımsız olaylar olmak koşuluyla
P(A) ¹ 0 ve P(B) ¹ 0 ise,
A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı
P(A Ç B) = P(A) × P(B) dir
A nın veya B nin gerçekleşme olasılığı
P(A È B) = P(A) + P(B) � P(A Ç B) dir

E KOŞULLU OLASILIK
A ile B, E örnek uzayında iki olay olsun P(B) > 0 olmak üzere; B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının olasılığına, A olayının B olayına bağlı koşullu olasılığı veya kısaca A nın B koşullu olasılığı denir ve P(A / B) şeklinde gösterilir