![]() |
Monoton Diziler |
![]() |
![]() |
#1 |
Prof. Dr. Sinsi
|
![]() Monoton DizilerMonoton Diziler Herhangi bir ( an ) dizisinde için , an+1 < an an monoton azalandır ![]() an+1 > an an monoton artandır ![]() an+1 an an monoton artmayandır ![]() an+1 an an monoton azalmayandır ![]() Artan veya azalan dizilere kısaca monoton dizi denir ![]() Örnek: dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz? Çözüm: an+1 - an = = = = = >0 an+1 - an > 0 an+1 > an olduğundan monoton artandır ![]() NOT: olmak üzere genel terimleri biçiminde olan dizilerin monotonluk durumlarını incelemek için aşağıdaki yol izlenir ![]() 1- Paydanın kökü olan –d/c>1 ise dizi ne artan ne azalandır ![]() 2- –d/c<1 ise dizi monotondur ![]() ![]() 3- ad–bc=0 ise dizi sabit dizidir ![]() Örnek: dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz? Çözüm: a=7 b=9 c=5 d=1 –d/c = –1/5 < 0 olduğundan dizi monotondur ![]() ad–bc = 7 ![]() ![]() ![]() Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesi Reel sayılar kümesine ¥ (artı sonsuz) ve - ¥ (eksi sonsuz) un katılmasıyla oluşan kümeye genişletilmiş reel sayılar kümesi denir ![]() ![]() Örnek: (an) = (n2) dizisinin limiti nedir? (an) = (n2) dizisinin " K Î R için hemen hemen her terimi (K , ¥) aralığındadır ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Sonsuzla Yapılan İşlemler 1 ![]() 2 ![]() ![]() ![]() ![]() 3 ![]() 4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5 ![]() 6 ![]() 7 ![]() ![]() ![]() Bazı Özel Limit Alma Kuralları 1) dir ![]() 2) , ve ise dir ![]() 3) (bn) dizisinin terimleri pozitif olmak üzere, ise (an) = dizisinin limiti de b dir ![]() 4) için dir ![]() 5) Bir (bn) dizisi için lim(bn) = b ise, genel terimi an = olan (an) dizisinin limiti, lim(an) = b dir ![]() ![]() 6) (bn) pozitif terimli bir dizi ve lim(bn) = b ise, genel terimi an = olan (an) dizisinin limiti de b dir ![]() 7) dır ![]() Eğer ise mutlak değerin içi pozitif ise mutlak değer içi negatif olduğundan mutla kdeğerli ifade bunlara göre tanımlanır ve limitin sonucu bulunur ![]() ![]() ifadesinde a<0 ise dizinin limiti yoktur ![]() Sınırlı dizi komşuluk dizilerde limit -------------------------------------------------------------------------------- Sınırlı Dizi Hem alttan hem üstten sınırlı dizilere kısaca sınırlı diziler denir ![]() Sınırlı Dizilerin Özellikleri: (an) ve (bn) sınırlı diz ve k R+ ise; (an)+(bn) toplamı sınırlıdır ![]() (an) ![]() ![]() k ![]() ![]() c R olmak üzere; (cn)=(c) ise (cn) sınırlıdır ![]() (an) sınırlı bir dizi ve n N+ için bn an ise (bn) dizisi de sınırlıdır ![]() (an) sınırsız bir dizi ve n N+ için an bn ise (bn) dizisi de sınırsızdır ![]() (an) ve (bn) sınırlı diziler ise ve n N+ için bn cn an ise (cn) diziside sınırlıdır ![]() Yakınsak olan her dizi sınırlıdır ![]() ![]() Komşuluk a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere, (a - e , a + e) açık aralığına a’ nın e (epsilon) komşuluğu denir ![]() K = (a - e , a + e) = {x: |x – a| < e , x Î R} Örnek: (an) = dizisi veriliyor ![]() (an) in sınırlı olduğunu gösteriniz ![]() EKÜS ve EBAS değerlerini bulunuz ![]() ![]() Çözüm: a) için, Buna göre (an) sınırlıdır ![]() b) EKÜS (an) = ve EBAS (an) = 0 dır ![]() dizinin elemanıdır ![]() ![]() ![]() Örnek: (an) = dizisi veriliyor ![]() Çözüm: 3’ün komşuluğu K= dir ![]() K’= kümesinin elemanıdır ![]() a’nın 3’ün komşuluğunda olmayan n tane terimi varsa, olmalıdır ![]() ![]() ![]() Not: 3’ün komşuluğunda bulunan terimleri ise sonsuz sayıdadır ![]() DİZİLERDE LİMİT a, r gerçel sayılar ve r>0 olsun ![]() Bir (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç diğer tüm terimleri a’nın r komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti a dır, denir ![]() (an) dizisinin limiti hesaplanırken n nin sonsuza gittiği varsayılır ![]() ![]() Limiti olan diziye yakınsak dizi, olmayan diziye de ıraksak dizi denir ![]() Limit Teoremleri: c R ve lim an = a ise lim(c ![]() ![]() ![]() lim an = a ve lim bn = b olsun lim (an bn) = a b lim (an ![]() ![]() lim (an/bn ) = a/b bn 0 ve b 0 Sabit diziler yakınsaktır ve limiti sabitin kendisidir ![]() (an) c (an) dizisi a’ya yakınsıyor ise (an) dizisinin tüm alt dizileri de a’ya yakınsar ![]() lim an = a ve ise lim =a olur ![]() (an) dizisinin tüm alt dizilerinin limitleri aynı değilse (an) dizisi ıraksaktır ![]() ve an cn bn için lim an=lim bn=a ise lim cn=a dır ![]() lim an=a olsun r>0 ise lim ra =ra dır ![]() |a|<1 ise (an) 0 a>1 ise (an) + a>-1 ise (an) an dizisinin limiti yoktur ![]() , Her n N+ için an 0 ve (an) 0 ise (sin an / an) 1 dir ![]() 10) 11) 12) ise dır ![]() Teorem: Teorem: (an) = dizisinde k=p ise dır ![]() ![]() k<p ise dır ![]() k>p ise dizi yakınsak değildir ![]() Örnek: dizisinin limitini bulunuz? Çözüm: Örnek: a) b) dizilerinin limitlerini bulunuz ![]() Çözüm: a) = = b) = = olduğundan olduğundan ve dır ![]() Örnek: (an) = 23n+2 / n+5 dizisinin limitini bulunuz? Çözüm: olduğuna göre dizilerde limit işlemlerinin özelliklerinden lim ra =ra da görüldüğü gibi; lim (an) = lim (23n+2 / n+5) = 23 = 8 dir ![]() Alt ve Üst Limitler: Bir (an) dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitlerinin en küçüğüne dizinin alt limiti, en büyüğüne de dizinin üst limiti denir ![]() (an) dizisinin alt limiti lim an ile, üst limiti ise an ile gösterilir ![]() an = lim an à an yakınsaktır ![]() Örnek: genel terimi ile verilen an dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz? Çözüm: (an) dizisinin diğer alt dizileri ise ya ıraksak olur yada bu üç terimden birine yakınsar ![]() olduğundan dolayı dizi ıraksaktır ![]() Örnek: dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz? Çözüm: olarak bulunur ![]() |
![]() |
![]() |
|